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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On note une norme quelconque sur R
m et B(x, r) (resp. B(x, r)) la boule
ouverte (resp. ferm´ ee) de centre x et de rayon r dans R
m . Comme U est suppos´ e
ouvert, il existe un cylindre
C 0 = [t 0 − T 0 , t 0 + T 0 ] × B(y 0 , r 0 )
de longueur 2T 0 et de rayon r 0 assez petit, tel que C 0 ⊂ U . L’ensemble C 0 est ferm´ e
born´ e dans R
m+1 , donc compact. Ceci entraˆ ıne que f est born´ ee sur C 0 , c’est-` a-dire
M = sup
(t,y)∈C0
f (t, y) < +∞.
Soit C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) ⊂ C 0 un cylindre de mˆ eme diam` etre que C 0 et
de demi-longueur T ≤ T 0 .
D´ efinition – On dit que C est un cylindre de s´ ecurit´ e pour l’´ equation (E) si toute
solution y : I → R
m du probl` eme de Cauchy y(t 0 ) = y 0 avec I ⊂ [t 0 − T, t 0 + T ]
reste contenue dans B(y 0 , r 0 ).
0
t 0 − T 0 t
t 0
t 0 + T 0
t
2T
2T 0
C 0
C
y(t)
y 0
R
m
U
r 0
Sur le sch´ ema ci-dessus, C est un cylindre de
s´ ecurit´ e mais C 0 n’en est pas un : la solution
y s’´ echappe de C 0 avant le temps t 0 + T 0 .
Supposons que la solution y s’´ echappe de C sur l’intervalle [t 0 , t 0 + T ]. Soit τ le
premier instant o` u cela se produit :
τ = inf {t ∈ [t 0 , t 0 + T ] ; y(t) − y 0 > r 0 }.