V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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d’apr` es ce qui pr´ ec` ede f
[0] = f , f
[1] = f
x + f
y f . En d´ erivant une nouvelle fois, on
trouve
y
(k+1) = (f
[k−1] )
x (x, y) + (f
[k−1] )
y (x, y) y
= (f
[k−1] )
x (x, y) + (f
[k−1] )
y (x, y) f (x, y).
On obtient donc les relations de r´ ecurrence
y
(k+1) = f
[k] (x, y)
f
[k] = (f
[k−1] )
x + (f
[k−1] )
y f, avec f
[0] = f.
En particulier, le lieu des points d’inflexion des courbes int´ egrales est contenu dans
la courbe f
[1] (x, y) = 0.
¾º ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ × ×ÓÐÙØØÓÒ×
Dans tout ce paragraphe, on consid` ere une ´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y)
o` u f : U → R
m est continue et U est un ouvert de R × R
m .
¾º½º
ÕÙÙÚÐÐÒÒÒ Ù ÔÖÓÓÐ ÑÑ ÙÙÙÝ ÚÚÚ ÐÐ Ö ×ÓÐÙØØÓÒ ³ÙÒÒ
ÕÙÙØØÓÒ ÒØ ÖÖÐÐ
Le lemme tr` es simple ci-dessous montre que la r´ esolution de (E) est ´ equivalente `
a
la r´ esolution d’une ´ equation int´ egrale :
Lemme – Une fonction y : I → R
m est une solution du probl` eme de Cauchy de
donn´ ees initiales (t 0 , y 0 ) si et seulement si
(i) y est continue et (∀t ∈ I) (t, y(t)) ∈ U ,
(ii) (∀t ∈ I) y(t) = y 0 +
t
t0
f (u, y(u))du.
En effet si y v´ erifie (i) et (ii) alors y est diff´ erentiable et on a y(t 0 ) = y 0 ,
y
(t) = f (t, y(t)). Inversement, si ces deux relations sont satisfaites, (ii) s’en d´ eduit
par int´ egration.
¾º¾º ÝÐÐÒÒÖÖ× × ÙÖÖØ
Pour r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle (E), on va plutˆ ot chercher ` a construire des
solutions de l’´ equation int´ egrale 2.1 (ii), et en premier lieu, on va montrer qu’une
solution passant par un point (t 0 , y 0 ) ∈ U ne peut s’´ eloigner trop vite de y 0 .