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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Sur le sch´ ema ci-dessus par exemple, y (1) est globale tandis que y (2) est maximale
mais non globale.
Donnons un exemple explicite de cette situation.
Exemple – (E) y
= y
2 sur U = R × R.
Cherchons les solutions t → y(t) de (E).
• On a d’une part la solution y(t) = 0.
• Si y ne s’annule pas, (E) s’´ ecrit
y
y 2 = 1, d’o` u par int´ egration
−
1
y(t)
= t + C, y(t) = −
1
t + C
.
Cette formule d´ efinit en fait deux solutions, d´ efinies respectivement sur ] − ∞, −C[
et sur ]−C, +∞[ ; ces solutions sont maximales mais non globales. Dans cet exemple
y(t) = 0 est la seule solution globale de (E).
½ººº Ê ÙÐÐÖÖØ × ×ÓÐÙØØÓÒ×
Rappelons qu’une fonction de plusieurs variables est dite de classe C
k si elle admet
des d´ eriv´ ees partielles continues jusqu’` a l’ordre k.
Th´ eor` eme – Si f : R × R
m
⊃ U → R
m est de classe C
k , toute solution de (E)
y
= f (t, y) est de classe C
k+1 .
D´ emonstration. On raisonne par r´ ecurrence sur k.
• k = 0 : f continue.
Par hypoth` ese y : I → R
m est d´ erivable, donc continue.
Par cons´ equent y
(t) = f (t, y(t)) est continue, donc y est de classe C
1 .
• Si le r´ esultat est vrai `
a l’ordre k − 1, alors y est au moins de classe C
k . Comme
f est de classe C
k , il s’ensuit que y
est de classe C
k comme compos´ ee de fonctions
de classe C
k , donc y est de classe C
k+1 .
Calcul des d´ eriv´ ees successives d’une solution y – On suppose pour
simplifier m = 1. En d´ erivant la relation y
(x) = f (x, y(x)) il vient
y
(x) = f
x (x, y(x)) + f
y (x, y(x))y
(x),
y
= f
x (x, y) + f
(x, y)f (x, y) = f
[1] (x, y)
avec f
[1] = f
x + f
y f . Notons de mani` ere g´ en´ erale l’expression de la d´ eriv´ ee k-i` eme
y
(k) en fonction de x, y sous la forme
y
(k) = f
[k−1] (x, y) ;