V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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pour un indice k ≥ 1. On pose alors
c k = sup{c ; y (k−1) se prolonge sur |a, c[ }.
On a c k ≥ b k−1 . Par d´ efinition de la borne sup´ erieure, il existe b k tel que
b k−1 ≤ b k ≤ c k et un prolongement y (k) : |a, b k [→ R
m de y (k−1) avec b k
arbitrairement voisin de c k ; en particulier, on peut choisir
c k − b k <
1
k
si c k < +∞,
b k > k
si c k = +∞.
La suite (c k ) est d´ ecroissante, car l’ensemble des prolongements de y (k−1) contient
l’ensemble des prolongements de y (k) ; au niveau des bornes sup´ erieures on a donc
c k ≥ c k+1 . Si c k < +∞ ` a partir d’un certain rang, les suites
b 1 ≤ b 2 ≤ . . . ≤ b k ≤ . . . ≤ c k ≤ c k−1 ≤ . . . ≤ c 1
sont adjacentes, tandis que si c k = +∞ quel que soit k on a b k > k. Dans les deux
cas, on voit que
b = lim
k→+∞
b k = lim
k→+∞
c k .
Soit
y : |a, b| → R
m le prolongement commun des solutions y (k) , ´ eventuellement
prolong´ e au point b si cela est possible. Soit z : |a, c| → R
m un prolongement de
y.
Alors z prolonge y (k−1) et par d´ efinition de c k il s’ensuit c ≤ c k . A la limite il vient
c ≤ c, ce qui montre que la solution
y est maximale ` a droite.
½ººº ËÓÐÙØØÓÒ× ÐÓÓÓÐÐ×
On suppose ici que l’ouvert U est de la forme U = J × Ω o` u J est un intervalle de
R et Ω un ouvert de R
m .
D´ efinition – Une solution globale est une solution d´ efinie sur l’intervalle J tout
entier.
0
J
t
Ω
y
U
y (1)
y (2)
Attention : toute solution globale est maximale, mais la r´ eciproque est fausse.