128
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
0
x
y
1
1
U +
U −
Γ 0
Γ 3/2
½º¿º ËÓÐÙØØÓÒ× ÑÑÜÜÑÑÐÐ×
Nous introduisons d’abord le concept de prolongement d’une solution. L’expression
solution maximale est alors entendue implicitement au sens de la relation d’ordre
fournie par le prolongement des solutions.
D´ efinition 1 – Soient y : I → R
m ,
y :
I → R
m des solutions de (E). On dit que
y est un prolongement de y si
I ⊃ I et
y| I = y.
D´ efinition 2 – On dit qu’une solution y : I → R
m est maximale si y n’admet
pas de prolongement
y :
I → R
m avec
I I.
Th´ eor` eme – Toute solution y se prolonge en une solution maximale
y (pas
n´ ecessairement unique).
D´ emonstration.* Supposons que y soit d´ efinie sur un intervalle I = |a, b| (cette
notation d´ esigne un intervalle ayant pour bornes a et b, incluses ou non dans I).
Il suffira de montrer que y se prolonge en une solution
y : |a, b| → R
m ( b ≥ b)
maximale ` a droite, c’est-` a-dire qu’on ne pourra plus prolonger
y au del` a de b. Le
mˆ eme raisonnement s’appliquera `
a gauche.
Pour cela, on construit par r´ ecurrence des prolongements successifs y (1) , y (2) . . . de y
avec y (k) : |a, b k [→ R
m . On pose y (1) = y, b 1 = b. Supposons y (k−1) d´ ej` a construite