V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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R´ esoudre le probl` eme de Cauchy revient ` a trouver une courbe int´ egrale de (E)
passant par un point donn´ e (x 0 , y 0 ) ∈ U .
Champ des tangentes – A tout point M = (x 0 , y 0 ), on associe la droite D M
passant par M et de coefficient directeur f (x 0 , y 0 ) :
D M : y − y 0 = f (x 0 , y 0 )(x − x 0 )
L’application M → D M est appel´ ee champ des tangentes associ´ e ` a l’´ equation (E).
Une courbe int´ egrale de (E) est une courbe diff´ erentiable C qui a pour tangente en
chaque point M ∈ C la droite D M du champ des tangentes. L’exemple ci-dessous
correspond `
a l’´ equation y
= f (x, y) = x − y
2 .
1
x
0
1
y
M
D M
C
Lignes isoclines de (E) – Par d´ efinition, ce sont les courbes
Γ p : f (x, y) = p
correspondant `
a l’ensemble des points M o` u la droite D M a une pente donn´ ee p.
La courbe Γ 0 joue un rˆ ole int´ eressant. On a en effet un r´ egionnement de U :
U = U + ∪ U − ∪ Γ 0 o` u
U + = {M ∈ U ; f (M ) > 0}, U − = {M ∈ U ; f (M ) < 0}.
Les courbes int´ egrales sont croissantes dans U + , d´ ecroissantes dans U − , stationnaires (souvent extrˆ emales) sur Γ 0 .
Exemple – Les lignes isoclines de l’´ equation y
= f (x, y) = x − y
2 sont les
paraboles x = y
2 + p.