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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
´
Ecriture en coordonn´ ees – ´
Ecrivons les fonctions `
a valeurs dans R
m en
termes de leurs fonctions composantes, c’est-` a-dire
y = (y 1 , . . . , y m ), f = (f 1 , . . . , f m ).
L’´ equation (E) apparaˆ ıt comme un syst` eme diff´ erentiel du premier ordre `
a m
fonctions inconnues y 1 , . . . , y m :
(E)
y
1 (t) = f 1 (t, y 1 (t), . . . , y m (t))
. . .
y
m (t) = f m (t, y 1 (t), . . . , y m (t)).
Probl` eme de Cauchy – ´
Etant donn´ e un point (t 0 , y 0 ) ∈ U , le probl` eme de
Cauchy consiste ` a trouver une solution y : I → R
m de (E) sur un intervalle I
contenant t 0 dans son int´ erieur, telle que y(t 0 ) = y 0 .
Interpr´ etation physique – Dans de nombreuses situations concr` etes, la
variable t repr´ esente le temps et y = (y 1 , . . . , y m ) est une famille de param` etres
d´ ecrivant l’´ etat d’un syst` eme mat´ eriel donn´ e. L’´ equation (E) traduit physiquement
la loi d’´ evolution du syst` eme consid´ er´ e en fonction du temps et de la valeur des
param` etres. R´ esoudre le probl` eme de Cauchy revient ` a pr´ evoir l’´ evolution du
syst` eme au cours du temps, sachant qu’en t = t 0 le syst` eme est d´ ecrit par les
param` etres y 0 = (y 0,1 , . . . , y 0,m ). On dit que (t 0 , y 0 ) sont les donn´ ees initiales du
probl` eme de Cauchy.
½º¾º × ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÙÒ (m = 1)
Si on note x = t, l’´ equation (E) se r´ ecrit
(E)
y
=
dy
dx
= f (x, y), (x, y) ∈ U ⊂ R × R.
U
x 0
x
y
y 0
y(x)
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
´
Ecriture en coordonn´ ees – ´
Ecrivons les fonctions `
a valeurs dans R
m en
termes de leurs fonctions composantes, c’est-` a-dire
y = (y 1 , . . . , y m ), f = (f 1 , . . . , f m ).
L’´ equation (E) apparaˆ ıt comme un syst` eme diff´ erentiel du premier ordre `
a m
fonctions inconnues y 1 , . . . , y m :
(E)
y
1 (t) = f 1 (t, y 1 (t), . . . , y m (t))
. . .
y
m (t) = f m (t, y 1 (t), . . . , y m (t)).
Probl` eme de Cauchy – ´
Etant donn´ e un point (t 0 , y 0 ) ∈ U , le probl` eme de
Cauchy consiste ` a trouver une solution y : I → R
m de (E) sur un intervalle I
contenant t 0 dans son int´ erieur, telle que y(t 0 ) = y 0 .
Interpr´ etation physique – Dans de nombreuses situations concr` etes, la
variable t repr´ esente le temps et y = (y 1 , . . . , y m ) est une famille de param` etres
d´ ecrivant l’´ etat d’un syst` eme mat´ eriel donn´ e. L’´ equation (E) traduit physiquement
la loi d’´ evolution du syst` eme consid´ er´ e en fonction du temps et de la valeur des
param` etres. R´ esoudre le probl` eme de Cauchy revient ` a pr´ evoir l’´ evolution du
syst` eme au cours du temps, sachant qu’en t = t 0 le syst` eme est d´ ecrit par les
param` etres y 0 = (y 0,1 , . . . , y 0,m ). On dit que (t 0 , y 0 ) sont les donn´ ees initiales du
probl` eme de Cauchy.
½º¾º × ÐÐ ÑÑÒ××ÓÒ ÙÒ (m = 1)
Si on note x = t, l’´ equation (E) se r´ ecrit
(E)
y
=
dy
dx
= f (x, y), (x, y) ∈ U ⊂ R × R.
U
x 0
x
y
y 0
y(x)