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Le but de ce chapitre est de d´ emontrer les th´ eor` emes g´ en´ eraux d’existence et
d’unicit´ e des solutions pour les ´ equations diff´ erentielles ordinaires. Il s’agit du
chapitre central de la th´ eorie, de ce fait n´ ecessairement assez abstrait. Sa bonne
compr´ ehension est indispensable en vue de la lecture des chapitres ult´ erieurs.
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ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÒØØØÐÐÐ ÓÖÖÖÒÒÒÖÖ Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ
Soit U un ouvert de R × R
m et
f : U → R
m
une application continue. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y), (t, y) ∈ U, t ∈ R, y ∈ R
m .
D´ efinition – Une solution de (E) sur un intervalle I ⊂ R est une fonction
d´ erivable y : I → R
m telle que
(i) (∀t ∈ I)
(t, y(t)) ∈ U
(ii) (∀t ∈ I)
y
(t) = f (t, y(t)).
L’ inconnue de l’´ equation (E) est donc en fait une fonction. Le qualificatif
ordinaire pour l’´ equation diff´ erentielle (E) signifie que la fonction inconnue y
d´ epend d’une seule variable t (lorsqu’il y a plusieurs variables t i et plusieurs d´ eriv´ ees
∂y/∂t i , on parle d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles).