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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(β) ´
Etablir la majoration
|f (c 1 )| ≤
1
2
m 2 |(c 1 − a)(c 1 − b)|.
(d) Soit (c n ), n ≥ 0, la suite r´ ecurrente d´ efinie de la fa¸ con suivante :
• on pose c 0 = a ;
• pour tout n ≥ 0 (et c n ´ etant d´ ej` a d´ efinie) on note p n l’unique polynˆ ome
de degr´ e 1 tel que p n (c n ) = f (c n ), p n (b) = f (b) ; et on d´ efinit c n+1 par
p n (c n+1 ) = 0.
(α) Mettre explicitement cette r´ ecurrence sous la forme c n+1 = ϕ(c n ).
(β) D´ emontrer que (c n ) est une suite strictement croissante contenue dans
l’intervalle [a, c].
(γ) D´ emontrer que la suite (c n ) converge vers c, et que, pour tout n ≥ 0, on a
|c n − c| ≤
f (c n )
m 1
.
(e) Programmation d’un exemple. On pose f (x) = x
4 + x − 1.
D´ emontrer que l’´ equation f (x) = 0 admet une racine c et une seule dans
l’intervalle [0, 1]. ´
Ecrire un programme permettant de calculer c ` a 10
−8 pr` es.
5.6. On consid` ere l’application ϕ : R
2
→ R
2 d´ efinie par
ϕ
x
y
=
X
Y
,
X = −x +
3
2
y +
5
4
Y = −
1
2
x + y
2 +
3
4
(a) D´ eterminer les points fixes de ϕ.
(b) Ces points fixes sont-ils attractifs ?
(c) Soit B le point fixe non attractif de ϕ. Montrer que ϕ admet une application
r´ eciproque ψ : V → W de classe C
∞ , o` u V, W sont des voisinages de B. Le
point B est-il attractif pour ψ ?
5.7. On cherche ` a r´ esoudre num´ eriquement le syst` eme d’´ equations
(S)
y ln y − x ln x = 3
x
4 + xy + y
3 = a
o` u x, y > 0 et o` u a est un param` etre r´ eel.
(a) ´
Etudier sommairement les variations de la fonction x → x ln x et montrer que
pour a ≥ 31 le syst` eme (S) n’a pas de solution (x, y) telle que x < 1. Montrer
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(β) ´
Etablir la majoration
|f (c 1 )| ≤
1
2
m 2 |(c 1 − a)(c 1 − b)|.
(d) Soit (c n ), n ≥ 0, la suite r´ ecurrente d´ efinie de la fa¸ con suivante :
• on pose c 0 = a ;
• pour tout n ≥ 0 (et c n ´ etant d´ ej` a d´ efinie) on note p n l’unique polynˆ ome
de degr´ e 1 tel que p n (c n ) = f (c n ), p n (b) = f (b) ; et on d´ efinit c n+1 par
p n (c n+1 ) = 0.
(α) Mettre explicitement cette r´ ecurrence sous la forme c n+1 = ϕ(c n ).
(β) D´ emontrer que (c n ) est une suite strictement croissante contenue dans
l’intervalle [a, c].
(γ) D´ emontrer que la suite (c n ) converge vers c, et que, pour tout n ≥ 0, on a
|c n − c| ≤
f (c n )
m 1
.
(e) Programmation d’un exemple. On pose f (x) = x
4 + x − 1.
D´ emontrer que l’´ equation f (x) = 0 admet une racine c et une seule dans
l’intervalle [0, 1]. ´
Ecrire un programme permettant de calculer c ` a 10
−8 pr` es.
5.6. On consid` ere l’application ϕ : R
2
→ R
2 d´ efinie par
ϕ
x
y
=
X
Y
,
X = −x +
3
2
y +
5
4
Y = −
1
2
x + y
2 +
3
4
(a) D´ eterminer les points fixes de ϕ.
(b) Ces points fixes sont-ils attractifs ?
(c) Soit B le point fixe non attractif de ϕ. Montrer que ϕ admet une application
r´ eciproque ψ : V → W de classe C
∞ , o` u V, W sont des voisinages de B. Le
point B est-il attractif pour ψ ?
5.7. On cherche ` a r´ esoudre num´ eriquement le syst` eme d’´ equations
(S)
y ln y − x ln x = 3
x
4 + xy + y
3 = a
o` u x, y > 0 et o` u a est un param` etre r´ eel.
(a) ´
Etudier sommairement les variations de la fonction x → x ln x et montrer que
pour a ≥ 31 le syst` eme (S) n’a pas de solution (x, y) telle que x < 1. Montrer