IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
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moyen d’une m´ ethode it´ erative adapt´ ee (qui permet d’´ eviter des calculs formels
trop compliqu´ es). La justification de la convergence n’est pas demand´ ee.
5.4. On se propose d’´ etudier le comportement des it´ er´ es d’une fonction au voisinage
d’un point fixe, dans le cas critique o` u la d´ eriv´ ee vaut 1 en ce point.
Soit ϕ : R + → R + une fonction de classe C
1 . On suppose que ϕ(0) = 0, ϕ
(0) = 1,
et que ϕ admet un d´ eveloppement limit´ e
ϕ(x) = x − ax
k + x
k ε(x)
avec
a > 0, k > 1,
lim
x→0+
ε(x) = 0.
(a) Montrer qu’il existe h > 0 tel que pour tout x 0 ∈ ]0, h] la suite it´ er´ ee
x p+1 = ϕ(x p ) converge vers 0.
(b) On pose u p = x
m
p o` u m ∈ R. D´ eterminer un ´ equivalent de u p+1 − u p en fonction
de x p .
(c) Montrer qu’il existe une valeur de m pour laquelle u p+1 − u p poss` ede une limite
finie non nulle. En d´ eduire un ´ equivalent de x p .
(d) Pour ϕ(x) = sin x et x 0 = 1, estimer le nombre d’it´ erations n´ ecessaires pour
atteindre x p < 10
−5 .
5.5. Dans tout ce probl` eme, on travaille sur un intervalle [a, b] fix´ e.
(a) Soit g : [a, b] → R une fonction de classe C
2 telle que g(a) = g(b) = 0, g
(x) > 0
pour tout x dans ]a, b[. D´ emontrer
• que g(x) ne s’annule en aucun x de ]a, b[,
• puis que g(x) < 0 pour tout x dans ]a, b[.
[Raisonner par l’absurde et utiliser le th´ eor` eme de Rolle.]
(b) Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C
2 telle que f (a) < 0, f (b) > 0,
f
(x) > 0 et f
(x) > 0 pour tout x dans ]a, b[.
D´ emontrer
(α) qu’il existe c (unique) dans ]a, b[ tel que f (c) = 0 ;
(β) qu’il existe m 1 et m 2 tels que
0 < m 1 ≤ f
(x), 0 < f
(x) ≤ m 2 pour tout x dans [a, b[.
(c) On conserve d´ esormais les hypoth` eses de la question (b), et on se propose de
calculer c. Soit p le polynˆ ome de degr´ e 1 tel que p(a) = f (a), p(b) = f (b),
et soit c 1 dans ]a, b[ tel que p(c 1 ) = 0.
(α) D´ emontrer que a < c 1 < c [appliquer la question (a) `
a g(x) = f (x) − p(x)].
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moyen d’une m´ ethode it´ erative adapt´ ee (qui permet d’´ eviter des calculs formels
trop compliqu´ es). La justification de la convergence n’est pas demand´ ee.
5.4. On se propose d’´ etudier le comportement des it´ er´ es d’une fonction au voisinage
d’un point fixe, dans le cas critique o` u la d´ eriv´ ee vaut 1 en ce point.
Soit ϕ : R + → R + une fonction de classe C
1 . On suppose que ϕ(0) = 0, ϕ
(0) = 1,
et que ϕ admet un d´ eveloppement limit´ e
ϕ(x) = x − ax
k + x
k ε(x)
avec
a > 0, k > 1,
lim
x→0+
ε(x) = 0.
(a) Montrer qu’il existe h > 0 tel que pour tout x 0 ∈ ]0, h] la suite it´ er´ ee
x p+1 = ϕ(x p ) converge vers 0.
(b) On pose u p = x
m
p o` u m ∈ R. D´ eterminer un ´ equivalent de u p+1 − u p en fonction
de x p .
(c) Montrer qu’il existe une valeur de m pour laquelle u p+1 − u p poss` ede une limite
finie non nulle. En d´ eduire un ´ equivalent de x p .
(d) Pour ϕ(x) = sin x et x 0 = 1, estimer le nombre d’it´ erations n´ ecessaires pour
atteindre x p < 10
−5 .
5.5. Dans tout ce probl` eme, on travaille sur un intervalle [a, b] fix´ e.
(a) Soit g : [a, b] → R une fonction de classe C
2 telle que g(a) = g(b) = 0, g
(x) > 0
pour tout x dans ]a, b[. D´ emontrer
• que g(x) ne s’annule en aucun x de ]a, b[,
• puis que g(x) < 0 pour tout x dans ]a, b[.
[Raisonner par l’absurde et utiliser le th´ eor` eme de Rolle.]
(b) Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C
2 telle que f (a) < 0, f (b) > 0,
f
(x) > 0 et f
(x) > 0 pour tout x dans ]a, b[.
D´ emontrer
(α) qu’il existe c (unique) dans ]a, b[ tel que f (c) = 0 ;
(β) qu’il existe m 1 et m 2 tels que
0 < m 1 ≤ f
(x), 0 < f
(x) ≤ m 2 pour tout x dans [a, b[.
(c) On conserve d´ esormais les hypoth` eses de la question (b), et on se propose de
calculer c. Soit p le polynˆ ome de degr´ e 1 tel que p(a) = f (a), p(b) = f (b),
et soit c 1 dans ]a, b[ tel que p(c 1 ) = 0.
(α) D´ emontrer que a < c 1 < c [appliquer la question (a) `
a g(x) = f (x) − p(x)].