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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. Soit (E, d) un espace m´ etrique et ϕ : E → E une application continue telle
que l’it´ er´ ee ϕ
m = ϕ ◦ . . . ◦ ϕ soit contractante, avec constante de Lipschitz k ∈ ]0, 1[
et m ∈ N
.
(a) On convient de noter ϕ
0 = Id E . V´ erifier que la formule
d
(x, y) = max
0≤i≤m−1
k
−i/m d(ϕ
i (x), ϕ
i (y))
d´ efinit une distance sur E, topologiquement ´ equivalente `
a la distance d (c’est` a-dire que les ouverts pour d et d
sont les mˆ emes). Montrer que (E, d
) est
complet d` es que (E, d) est complet.
(b) Montrer que ϕ est lipschitzienne de rapport k
1/m pour d
. En d´ eduire que ϕ
admet un point fixe unique a, et que, pour tout point initial x 0 ∈ E, il existe une
constante C telle que la suite des it´ er´ es x p = ϕ(x p−1 ) v´ erifie d(x p , a) ≤ C k
p/m .
5.2. On consid` ere la fonction f telle que
f (x) = x ln (x), x ∈ [1, +∞[.
On se propose d’´ etudier des algorithmes it´ eratifs permettant de calculer l’image
r´ eciproque f
−1 (a) pour un r´ eel a ∈ [0, +∞[ fix´ e quelconque.
(a) Montrer que f est une bijection de [1, +∞[ sur [0, +∞[.
(b) On pose ϕ(x) =
a
ln (x) . Pour a = e, calculer explicitement f
−1 (a).
Pour quelles valeurs de a = e le proc´ ed´ e it´ eratif x p+1 = ϕ(x p ) converge-t-il
lorsque la valeur initiale x 0 est choisie assez voisine de f
−1 (a) ?
(c) Soit x p+1 = ψ(x p ) l’algorithme it´ eratif fourni par la m´ ethode de Newton pour
la r´ esolution de l’´ equation x ln (x) − a = 0.
(α) ´
Etudier les variations de la fonction ψ et tracer sommairement la courbe
repr´ esentative de ψ.
(β) ´
Etudier la convergence de la suite (x p ) pour a ∈ [0, +∞[ et x 0 ∈ [1, +∞[
quelconques.
(γ) ´
Evaluer f
−1 (2) par ce proc´ ed´ e ` a l’aide d’une calculette. On donnera les
approximations successives obtenues.
5.3. On consid` ere la fonction
f (x) = exp(exp(− cos(sin(x + e
x )))) + x
3 .
On donne f (0, 1) 1, 737 ; f (0, 2) 1, 789 `
a 10
−3 pr` es. ´
Ecrire un programme
permettant de r´ esoudre l’´ equation f (x) = 7/4 ` a la pr´ ecision ε = 10
−10 , ceci au
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. Soit (E, d) un espace m´ etrique et ϕ : E → E une application continue telle
que l’it´ er´ ee ϕ
m = ϕ ◦ . . . ◦ ϕ soit contractante, avec constante de Lipschitz k ∈ ]0, 1[
et m ∈ N
.
(a) On convient de noter ϕ
0 = Id E . V´ erifier que la formule
d
(x, y) = max
0≤i≤m−1
k
−i/m d(ϕ
i (x), ϕ
i (y))
d´ efinit une distance sur E, topologiquement ´ equivalente `
a la distance d (c’est` a-dire que les ouverts pour d et d
sont les mˆ emes). Montrer que (E, d
) est
complet d` es que (E, d) est complet.
(b) Montrer que ϕ est lipschitzienne de rapport k
1/m pour d
. En d´ eduire que ϕ
admet un point fixe unique a, et que, pour tout point initial x 0 ∈ E, il existe une
constante C telle que la suite des it´ er´ es x p = ϕ(x p−1 ) v´ erifie d(x p , a) ≤ C k
p/m .
5.2. On consid` ere la fonction f telle que
f (x) = x ln (x), x ∈ [1, +∞[.
On se propose d’´ etudier des algorithmes it´ eratifs permettant de calculer l’image
r´ eciproque f
−1 (a) pour un r´ eel a ∈ [0, +∞[ fix´ e quelconque.
(a) Montrer que f est une bijection de [1, +∞[ sur [0, +∞[.
(b) On pose ϕ(x) =
a
ln (x) . Pour a = e, calculer explicitement f
−1 (a).
Pour quelles valeurs de a = e le proc´ ed´ e it´ eratif x p+1 = ϕ(x p ) converge-t-il
lorsque la valeur initiale x 0 est choisie assez voisine de f
−1 (a) ?
(c) Soit x p+1 = ψ(x p ) l’algorithme it´ eratif fourni par la m´ ethode de Newton pour
la r´ esolution de l’´ equation x ln (x) − a = 0.
(α) ´
Etudier les variations de la fonction ψ et tracer sommairement la courbe
repr´ esentative de ψ.
(β) ´
Etudier la convergence de la suite (x p ) pour a ∈ [0, +∞[ et x 0 ∈ [1, +∞[
quelconques.
(γ) ´
Evaluer f
−1 (2) par ce proc´ ed´ e ` a l’aide d’une calculette. On donnera les
approximations successives obtenues.
5.3. On consid` ere la fonction
f (x) = exp(exp(− cos(sin(x + e
x )))) + x
3 .
On donne f (0, 1) 1, 737 ; f (0, 2) 1, 789 `
a 10
−3 pr` es. ´
Ecrire un programme
permettant de r´ esoudre l’´ equation f (x) = 7/4 ` a la pr´ ecision ε = 10
−10 , ceci au