IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
119
dans R
m et R
p , ainsi que de nouvelles bases (a 1 , . . . , a m ) et (b 1 , . . . , b p ) de sorte que
(a r+1 , . . . , a m ) soit une base du noyau de Ker f
(x 0 ) et b j = f
(x 0 )(a j ), 1 ≤ j ≤ r.
Dans ces nouveaux rep` eres, la matrice de f
(x 0 ) devient par construction la matrice
de rang r
1 . . . 0 0 . . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 . . . 1
. . .
0 . . .
0 . . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
0 . . .
0 . . . 0
.
Ceci est pr´ ecis´ ement la matrice de la d´ eriv´ ee f
1 (0) de f 1 = ψ 1 ◦ f ◦ ϕ
−1
1 ` a l’origine.
En particulier, si π : R
p
→ R
r est la projection sur les r-premi` eres coordonn´ ees,
alors π ◦ f 1 est une submersion de R
m dans R
r en 0, et d’apr` es le th´ eor` eme des
submersions on peut trouver un C
k -diff´ eomorphisme ϕ 2 de R
m ` a l’origine tel que
π ◦ f 1 ◦ ϕ
−1
2 (x 1 , . . . , x m ) = (x 1 , . . . , x r )
pr` es de 0. Par cons´ equent nous avons une ´ ecriture
f 1 ◦ ϕ
−1
2 (x 1 , . . . , x m ) = (x 1 , . . . , x r , h r+1 (x), . . . , h p (x))
au voisinage de 0. Or, par hypoth` ese, f 1 ◦ϕ
−1
2 = ψ 1 ◦f ◦ϕ
−1
1 ◦ϕ
−1
2 est une application
de rang constant r, et la matrice de son application lin´ eaire tangente
1 . . . 0
0
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 . . . 1
. . .
0 . . .
∂h r+1 /∂x r+1 . . . ∂h r+1 /∂x m
. . .
. . .
. . .
. . .
0 . . .
∂h p /∂x r+1
. . . ∂h p /∂x m
ne peut ˆ etre de rang r que si ∂h i /∂x j = 0 pour i, j > r, ce qui signifie que
h r+1 , . . . , h p sont en fait des fonctions des seules variables x 1 , . . . , x r . On a donc
une application de rang constant r
(x 1 , . . . , x r ) → (x 1 , . . . , x r , h r+1 (x 1 , . . . , x r ), . . . , h p (x 1 , . . . , x r ))
au voisinage de 0. En d’autres termes, c’est une immersion de R
r dans R
p en 0, et
d’apr` es le th´ eor` eme des immersions il existe un C
k -diff´ eomorphisme ψ 2 de R
p en 0
tel que
ψ 2 (x 1 , . . . , x r , h r+1 (x 1 , . . . , x r ), . . . , h p (x 1 , . . . , x r )) = (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0)
pr` es de 0. Il s’ensuit que
ψ 2 ◦ f 1 ◦ ϕ
−1
2 (x 1 , . . . , x m ) = (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0)
au voisinage de 0. L’existence de petits voisinages U 2 = Q × S et V 2 = Q × T est
alors imm´ ediate, et le th´ eor` eme du rang constant est d´ emontr´ e avec ϕ = ϕ 2 ◦ ϕ 1 ,
ψ = ψ 2 ◦ ψ 1 , U = ϕ
−1 (U 2 ), V = ψ
−1 (V 2 ).
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dans R
m et R
p , ainsi que de nouvelles bases (a 1 , . . . , a m ) et (b 1 , . . . , b p ) de sorte que
(a r+1 , . . . , a m ) soit une base du noyau de Ker f
(x 0 ) et b j = f
(x 0 )(a j ), 1 ≤ j ≤ r.
Dans ces nouveaux rep` eres, la matrice de f
(x 0 ) devient par construction la matrice
de rang r
1 . . . 0 0 . . . 0
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0 . . . 1
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0 . . . 0
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0 . . .
0 . . . 0
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Ceci est pr´ ecis´ ement la matrice de la d´ eriv´ ee f
1 (0) de f 1 = ψ 1 ◦ f ◦ ϕ
−1
1 ` a l’origine.
En particulier, si π : R
p
→ R
r est la projection sur les r-premi` eres coordonn´ ees,
alors π ◦ f 1 est une submersion de R
m dans R
r en 0, et d’apr` es le th´ eor` eme des
submersions on peut trouver un C
k -diff´ eomorphisme ϕ 2 de R
m ` a l’origine tel que
π ◦ f 1 ◦ ϕ
−1
2 (x 1 , . . . , x m ) = (x 1 , . . . , x r )
pr` es de 0. Par cons´ equent nous avons une ´ ecriture
f 1 ◦ ϕ
−1
2 (x 1 , . . . , x m ) = (x 1 , . . . , x r , h r+1 (x), . . . , h p (x))
au voisinage de 0. Or, par hypoth` ese, f 1 ◦ϕ
−1
2 = ψ 1 ◦f ◦ϕ
−1
1 ◦ϕ
−1
2 est une application
de rang constant r, et la matrice de son application lin´ eaire tangente
1 . . . 0
0
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0 . . . 1
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∂h r+1 /∂x r+1 . . . ∂h r+1 /∂x m
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∂h p /∂x r+1
. . . ∂h p /∂x m
ne peut ˆ etre de rang r que si ∂h i /∂x j = 0 pour i, j > r, ce qui signifie que
h r+1 , . . . , h p sont en fait des fonctions des seules variables x 1 , . . . , x r . On a donc
une application de rang constant r
(x 1 , . . . , x r ) → (x 1 , . . . , x r , h r+1 (x 1 , . . . , x r ), . . . , h p (x 1 , . . . , x r ))
au voisinage de 0. En d’autres termes, c’est une immersion de R
r dans R
p en 0, et
d’apr` es le th´ eor` eme des immersions il existe un C
k -diff´ eomorphisme ψ 2 de R
p en 0
tel que
ψ 2 (x 1 , . . . , x r , h r+1 (x 1 , . . . , x r ), . . . , h p (x 1 , . . . , x r )) = (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0)
pr` es de 0. Il s’ensuit que
ψ 2 ◦ f 1 ◦ ϕ
−1
2 (x 1 , . . . , x m ) = (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0)
au voisinage de 0. L’existence de petits voisinages U 2 = Q × S et V 2 = Q × T est
alors imm´ ediate, et le th´ eor` eme du rang constant est d´ emontr´ e avec ϕ = ϕ 2 ◦ ϕ 1 ,
ψ = ψ 2 ◦ ψ 1 , U = ϕ
−1 (U 2 ), V = ψ
−1 (V 2 ).