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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ emonstration du th´ eor` eme des immersions. Choisissons des vecteurs
lin´ eairement ind´ ependants (a 1 , . . . a p−m ) de R
p de sorte qu’on ait une d´ ecomposition
en somme directe
R
p = Im f
(x 0 ) ⊕
1≤i≤p−m
Ra i .
C’est possible puisque dim Im f
(x 0 ) = m d’apr` es l’injectivit´ e de f
(x 0 ). Nous
d´ efinissons
Ψ : Ω × R
p−m
→ R
p ,
Ψ(x, t) = f (x) +
1≤i≤p−m
t i a i .
Comme ∂Ψ(x, t)/∂t i = a i , il est clair que Im Ψ
(x 0 , 0) contient `
a la fois Im f
(x 0 )
et les a i , donc Ψ
(x 0 , 0) est surjective. Mais comme Ψ est une application de
R
p dans R
p , ceci entraˆ ıne que Ψ
(x 0 , 0) est inversible. Par cons´ equent Ψ d´ efinit
un C
k -diff´ eomorphisme d’un voisinage U × T de (x 0 , 0) sur un voisinage V de
y 0 = f (x 0 ). Nous avons Ψ(x, 0) = f (x) par d´ efinition de Ψ, donc ψ = Ψ
−1 r´ epond
` a la question.
D´ emonstration du th´ eor` eme des submersions. Soit (a 1 , . . . , a m ) une base
de R
m choisie de telle sorte que (a p+1 , . . . , a m ) soit une base de Ker f
(x 0 ). Nous
d´ efinissons
ϕ : Ω → R
p
× R
m−p ,
ϕ(x) = (f (x), s p+1 , . . . , s m )
o` u (s 1 , . . . , s m ) d´ esignent les coordonn´ ees de x dans la base (a i ), c’est-` a-dire
x =
s i a i . Le noyau Ker ϕ
(x 0 ) est l’intersection du noyau Ker f
(x 0 ) avec le
sous-espace s p+1 = . . . = s m = 0 engendr´ e par (a 1 , . . . , a p ), et comme ces espaces
sont suppl´ ementaires on a Ker ϕ
(x 0 ) = {0}. Ceci montre que ϕ
(x 0 ) est injective,
et donc bijective. Par cons´ equent ϕ est un C
k -diff´ eomorphisme d’un voisinage U
de x 0 sur un voisinage V × S de (y 0 , 0) = (f (x 0 ), 0) (quitte `
a r´ etr´ ecir ces voisinages,
on peut toujours supposer que le voisinage d’arriv´ ee est un produit). On voit alors
que f = π ◦ ϕ o` u π est la projection sur les p-premi` eres coordonn´ ees, de sorte que
f ◦ ϕ
−1 = π : (y, s p+1 , . . . , s m ) → y. Le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
D´ emonstration du th´ eor` eme du rang. On construit des diff´ eomorphismes ϕ i
entre ouverts de R
m et ψ i entre ouverts de R
p de fa¸ con ` a simplifier progressivement f :
U
f
−→ V
ϕ 1
ψ 1
U 1
f1
−→ V 1
ϕ 2
ψ 2
U 2
f2
−→ V 2 .
Le premier niveau (ϕ 1 , ψ 1 ) consiste simplement en des changements affines de
coordonn´ ees : on choisit respectivement x 0 et y 0 = f (x 0 ) comme nouvelles origines
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ emonstration du th´ eor` eme des immersions. Choisissons des vecteurs
lin´ eairement ind´ ependants (a 1 , . . . a p−m ) de R
p de sorte qu’on ait une d´ ecomposition
en somme directe
R
p = Im f
(x 0 ) ⊕
1≤i≤p−m
Ra i .
C’est possible puisque dim Im f
(x 0 ) = m d’apr` es l’injectivit´ e de f
(x 0 ). Nous
d´ efinissons
Ψ : Ω × R
p−m
→ R
p ,
Ψ(x, t) = f (x) +
1≤i≤p−m
t i a i .
Comme ∂Ψ(x, t)/∂t i = a i , il est clair que Im Ψ
(x 0 , 0) contient `
a la fois Im f
(x 0 )
et les a i , donc Ψ
(x 0 , 0) est surjective. Mais comme Ψ est une application de
R
p dans R
p , ceci entraˆ ıne que Ψ
(x 0 , 0) est inversible. Par cons´ equent Ψ d´ efinit
un C
k -diff´ eomorphisme d’un voisinage U × T de (x 0 , 0) sur un voisinage V de
y 0 = f (x 0 ). Nous avons Ψ(x, 0) = f (x) par d´ efinition de Ψ, donc ψ = Ψ
−1 r´ epond
` a la question.
D´ emonstration du th´ eor` eme des submersions. Soit (a 1 , . . . , a m ) une base
de R
m choisie de telle sorte que (a p+1 , . . . , a m ) soit une base de Ker f
(x 0 ). Nous
d´ efinissons
ϕ : Ω → R
p
× R
m−p ,
ϕ(x) = (f (x), s p+1 , . . . , s m )
o` u (s 1 , . . . , s m ) d´ esignent les coordonn´ ees de x dans la base (a i ), c’est-` a-dire
x =
s i a i . Le noyau Ker ϕ
(x 0 ) est l’intersection du noyau Ker f
(x 0 ) avec le
sous-espace s p+1 = . . . = s m = 0 engendr´ e par (a 1 , . . . , a p ), et comme ces espaces
sont suppl´ ementaires on a Ker ϕ
(x 0 ) = {0}. Ceci montre que ϕ
(x 0 ) est injective,
et donc bijective. Par cons´ equent ϕ est un C
k -diff´ eomorphisme d’un voisinage U
de x 0 sur un voisinage V × S de (y 0 , 0) = (f (x 0 ), 0) (quitte `
a r´ etr´ ecir ces voisinages,
on peut toujours supposer que le voisinage d’arriv´ ee est un produit). On voit alors
que f = π ◦ ϕ o` u π est la projection sur les p-premi` eres coordonn´ ees, de sorte que
f ◦ ϕ
−1 = π : (y, s p+1 , . . . , s m ) → y. Le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
D´ emonstration du th´ eor` eme du rang. On construit des diff´ eomorphismes ϕ i
entre ouverts de R
m et ψ i entre ouverts de R
p de fa¸ con ` a simplifier progressivement f :
U
f
−→ V
ϕ 1
ψ 1
U 1
f1
−→ V 1
ϕ 2
ψ 2
U 2
f2
−→ V 2 .
Le premier niveau (ϕ 1 , ψ 1 ) consiste simplement en des changements affines de
coordonn´ ees : on choisit respectivement x 0 et y 0 = f (x 0 ) comme nouvelles origines