IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
117
D´ efinition – Soit Ω un ouvert de R
m et f : Ω → R
p une application de classe C
k ,
k ≥ 1. On dit que
(1) f est une immersion en un point x 0 ∈ Ω si f
(x 0 ) ∈ L(R
m , R
p ) est injective
(ce qui implique m ≤ p) ;
(2) f est une submersion en un point x 0 ∈ Ω si f
(x 0 ) ∈ L(R
m , R
p ) est surjective
(ce qui implique m ≥ p) ;
(3) f est de rang constant si le rang de f
(x) pour x ∈ Ω est un entier r constant
(ce qui implique r ≤ min(m, p)).
La structure locale de telles applications est d´ ecrite respectivement par les trois
th´ eor` emes suivants.
Th´ eor` eme des immersions – Si f est une immersion en un point x 0 ∈ Ω, il
existe un voisinage U de x 0 dans R
m , un voisinage V de y 0 = f (x 0 ) dans R
p et un
C
k -diff´ eomorphisme ψ : V → U × T de V sur un voisinage U × T de (x 0 , 0) dans
R
p = R
m
× R
p−m tel que ψ ◦ f (x) = (x, 0) sur U .
Autrement dit, au diff´ eomorphisme ψ pr` es dans l’espace d’arriv´ ee,
f = ψ ◦ f
s’identifie `
a l’injection triviale x → (x, 0) au voisinage de x 0 .
Th´ eor` eme des submersions – Si f est une submersion en un point x 0 ∈ Ω,
il existe un voisinage U de x 0 dans R
m , un voisinage V de y 0 = f (x 0 ) dans R
p et
un C
k -diff´ eomorphisme ϕ : U → V × S de U sur un voisinage V × S de (y 0 , 0) dans
R
m = R
p
× R
m−p tel que f ◦ ϕ
−1 (y, s) = y sur V × S.
Autrement dit, au diff´ eomorphisme ϕ pr` es dans l’espace de d´ epart,
f = f ◦ ϕ
−1
s’identifie `
a la projection triviale (y, s) → y au voisinage de (y 0 , 0).
Th´ eor` eme du rang – Si f est de rang constant r sur Ω et si x 0 ∈ Ω, il
existe un voisinage U de x 0 dans R
m , un voisinage V de y 0 = f (x 0 ) dans R
p ,
un C
k -diff´ eomorphisme ϕ : U → Q × S de U sur un voisinage Q × S de 0 dans
R
m = R
r
× R
m−r , et un C
k -diff´ eomorphisme ψ : V → Q × T de V sur un voisinage
Q × T de 0 dans R
p = R
p
× R
p−r , tels que
ψ ◦ f ◦ ϕ
−1 (x) = (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0) ∈ R
p
sur Q × S.
Autrement dit, aux diff´ eomorphismes ϕ, ψ pr` es `
a la fois au d´ epart et ` a l’arriv´ ee,
f = ψ ◦ f ◦ ϕ
−1 s’identifie `
a l’application lin´ eaire canonique de rang r
(∗)
( x 1 , . . . , x r , x r+1 , . . . , x m ) ∈ R
m
→ (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0) ∈ R
p
au voisinage de 0, et on a le diagramme commutatif
U
f
−→ V
ϕ
ψ
Q × S −→
f
Q × T
o` u
f est l’application lin´ eaire (∗).
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D´ efinition – Soit Ω un ouvert de R
m et f : Ω → R
p une application de classe C
k ,
k ≥ 1. On dit que
(1) f est une immersion en un point x 0 ∈ Ω si f
(x 0 ) ∈ L(R
m , R
p ) est injective
(ce qui implique m ≤ p) ;
(2) f est une submersion en un point x 0 ∈ Ω si f
(x 0 ) ∈ L(R
m , R
p ) est surjective
(ce qui implique m ≥ p) ;
(3) f est de rang constant si le rang de f
(x) pour x ∈ Ω est un entier r constant
(ce qui implique r ≤ min(m, p)).
La structure locale de telles applications est d´ ecrite respectivement par les trois
th´ eor` emes suivants.
Th´ eor` eme des immersions – Si f est une immersion en un point x 0 ∈ Ω, il
existe un voisinage U de x 0 dans R
m , un voisinage V de y 0 = f (x 0 ) dans R
p et un
C
k -diff´ eomorphisme ψ : V → U × T de V sur un voisinage U × T de (x 0 , 0) dans
R
p = R
m
× R
p−m tel que ψ ◦ f (x) = (x, 0) sur U .
Autrement dit, au diff´ eomorphisme ψ pr` es dans l’espace d’arriv´ ee,
f = ψ ◦ f
s’identifie `
a l’injection triviale x → (x, 0) au voisinage de x 0 .
Th´ eor` eme des submersions – Si f est une submersion en un point x 0 ∈ Ω,
il existe un voisinage U de x 0 dans R
m , un voisinage V de y 0 = f (x 0 ) dans R
p et
un C
k -diff´ eomorphisme ϕ : U → V × S de U sur un voisinage V × S de (y 0 , 0) dans
R
m = R
p
× R
m−p tel que f ◦ ϕ
−1 (y, s) = y sur V × S.
Autrement dit, au diff´ eomorphisme ϕ pr` es dans l’espace de d´ epart,
f = f ◦ ϕ
−1
s’identifie `
a la projection triviale (y, s) → y au voisinage de (y 0 , 0).
Th´ eor` eme du rang – Si f est de rang constant r sur Ω et si x 0 ∈ Ω, il
existe un voisinage U de x 0 dans R
m , un voisinage V de y 0 = f (x 0 ) dans R
p ,
un C
k -diff´ eomorphisme ϕ : U → Q × S de U sur un voisinage Q × S de 0 dans
R
m = R
r
× R
m−r , et un C
k -diff´ eomorphisme ψ : V → Q × T de V sur un voisinage
Q × T de 0 dans R
p = R
p
× R
p−r , tels que
ψ ◦ f ◦ ϕ
−1 (x) = (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0) ∈ R
p
sur Q × S.
Autrement dit, aux diff´ eomorphismes ϕ, ψ pr` es `
a la fois au d´ epart et ` a l’arriv´ ee,
f = ψ ◦ f ◦ ϕ
−1 s’identifie `
a l’application lin´ eaire canonique de rang r
(∗)
( x 1 , . . . , x r , x r+1 , . . . , x m ) ∈ R
m
→ (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0) ∈ R
p
au voisinage de 0, et on a le diagramme commutatif
U
f
−→ V
ϕ
ψ
Q × S −→
f
Q × T
o` u
f est l’application lin´ eaire (∗).