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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(x, y) ∈
Ω = R
m
× Ω ⊂ R
m
× R
m pour obtenir l’existence de la fonction r´ eciproque
y = g(x) de f au voisinage de tout point y 0 ∈ Ω o` u f
(y 0 ) est inversible.
D´ emonstration. En sens inverse, nous allons montrer que le th´ eor` eme d’inversion
locale implique facilement le th´ eor` eme des fonctions implicites (ce sont donc des
th´ eor` emes ´ equivalents ). Avec les hypoth` eses faites sur f , consid´ erons
F : Ω → R
p
× R
m ,
(x, y) → F (x, y) = (x, f (x, y)).
Nous avons F (x 0 , y 0 ) = (x 0 , 0) et la matrice de la diff´ erentielle de F est donn´ ee par
F
(x, y) =
Id
0
f
x (x, y) f
y (x, y)
.
Ceci permet de voir aussitˆ ot que F
(x, y) ∈ L(R
p+m , R
p+m ) est inversible en tout
point o` u f
y (x, y) ∈ L(R
p , R
p ) l’est, avec
F
(x, y)
−1 =
Id
0
−f
y (x, y)
−1
◦ f
x (x, y) f
y (x, y)
−1
.
En particulier, F
(x 0 , y 0 ) est inversible par hypoth` ese.
Le th´ eor` eme d’inversion locale montre que F est un diff´ eomorphisme de classe C
k
d’un voisinage
T = U 1 × V 1 de (x 0 , y 0 ) sur un voisinage
W de (x 0 , 0) dans R
p
× R
m
(Quitte `
a r´ etr´ ecir
T on peut supposer que
T est un produit de boules ouvertes).
L’application H = F
−1 :
W → U 1 × V 1 , (u, v) → (x, y) = H(u, v) est la solution
de l’´ equation F (x, y) = (x, f (x, y)) = (u, v) pour (x, y) ∈
U 1 × V 1 , donc x = u
et on voit que H est de la forme H(u, v) = (u, h(u, v)) pour une certaine fonction
h :
W → V 1 . Pour (x, y) ∈ U 1 × V 1 et (x, v) ∈
W , nous avons l’´ equivalence
f (x, y) = v ⇔ y = h(x, v).
La fonction g(x) = h(x, 0) donne donc pr´ ecis´ ement y = g(x) comme solution
del’´ equation f (x, y) = 0 lorsque (x, y) ∈ U 1 ×V 1 et (x, 0) ∈
W . D´ efinissons U comme
l’ensemble des x ∈ U 1 tels que (x, 0) ∈
W et V = V 1 . Nous obtenons ainsi U, V qui
sont des voisinages ouverts de x 0 et y 0 respectivement, et une application g : U → V
de classe C
k qui r´ epond `
a la question. De plus g
(x) = h
x (x, 0) est la d´ eriv´ ee
partielle en x de la composante h dans H
(x, 0) = F
(H(x, 0))
−1 = F
(x, g(x))
−1 ,
c’est-` a-dire
g
(x) = −f
y (x, g(x))
−1
◦ f
x (x, g(x)).
Remarque 2 – D’un point de vue num´ erique, le calcul de y = g(x) au
voisinage de x 0 pourra se faire en utilisant la m´ ethode de Newton-Raphson appliqu´ ee ` a la fonction y → f (x, y), c’est-` a-dire en calculant les it´ er´ es successifs
y p+1 = y p − f
y (x, y p )
−1 (f (x, y p )) `
a partir de la valeur approch´ ee y 0 .
Nous abordons maintenant des ´ enonc´ es plus g´ eom´ etriques.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(x, y) ∈
Ω = R
m
× Ω ⊂ R
m
× R
m pour obtenir l’existence de la fonction r´ eciproque
y = g(x) de f au voisinage de tout point y 0 ∈ Ω o` u f
(y 0 ) est inversible.
D´ emonstration. En sens inverse, nous allons montrer que le th´ eor` eme d’inversion
locale implique facilement le th´ eor` eme des fonctions implicites (ce sont donc des
th´ eor` emes ´ equivalents ). Avec les hypoth` eses faites sur f , consid´ erons
F : Ω → R
p
× R
m ,
(x, y) → F (x, y) = (x, f (x, y)).
Nous avons F (x 0 , y 0 ) = (x 0 , 0) et la matrice de la diff´ erentielle de F est donn´ ee par
F
(x, y) =
Id
0
f
x (x, y) f
y (x, y)
.
Ceci permet de voir aussitˆ ot que F
(x, y) ∈ L(R
p+m , R
p+m ) est inversible en tout
point o` u f
y (x, y) ∈ L(R
p , R
p ) l’est, avec
F
(x, y)
−1 =
Id
0
−f
y (x, y)
−1
◦ f
x (x, y) f
y (x, y)
−1
.
En particulier, F
(x 0 , y 0 ) est inversible par hypoth` ese.
Le th´ eor` eme d’inversion locale montre que F est un diff´ eomorphisme de classe C
k
d’un voisinage
T = U 1 × V 1 de (x 0 , y 0 ) sur un voisinage
W de (x 0 , 0) dans R
p
× R
m
(Quitte `
a r´ etr´ ecir
T on peut supposer que
T est un produit de boules ouvertes).
L’application H = F
−1 :
W → U 1 × V 1 , (u, v) → (x, y) = H(u, v) est la solution
de l’´ equation F (x, y) = (x, f (x, y)) = (u, v) pour (x, y) ∈
U 1 × V 1 , donc x = u
et on voit que H est de la forme H(u, v) = (u, h(u, v)) pour une certaine fonction
h :
W → V 1 . Pour (x, y) ∈ U 1 × V 1 et (x, v) ∈
W , nous avons l’´ equivalence
f (x, y) = v ⇔ y = h(x, v).
La fonction g(x) = h(x, 0) donne donc pr´ ecis´ ement y = g(x) comme solution
del’´ equation f (x, y) = 0 lorsque (x, y) ∈ U 1 ×V 1 et (x, 0) ∈
W . D´ efinissons U comme
l’ensemble des x ∈ U 1 tels que (x, 0) ∈
W et V = V 1 . Nous obtenons ainsi U, V qui
sont des voisinages ouverts de x 0 et y 0 respectivement, et une application g : U → V
de classe C
k qui r´ epond `
a la question. De plus g
(x) = h
x (x, 0) est la d´ eriv´ ee
partielle en x de la composante h dans H
(x, 0) = F
(H(x, 0))
−1 = F
(x, g(x))
−1 ,
c’est-` a-dire
g
(x) = −f
y (x, g(x))
−1
◦ f
x (x, g(x)).
Remarque 2 – D’un point de vue num´ erique, le calcul de y = g(x) au
voisinage de x 0 pourra se faire en utilisant la m´ ethode de Newton-Raphson appliqu´ ee ` a la fonction y → f (x, y), c’est-` a-dire en calculant les it´ er´ es successifs
y p+1 = y p − f
y (x, y p )
−1 (f (x, y p )) `
a partir de la valeur approch´ ee y 0 .
Nous abordons maintenant des ´ enonc´ es plus g´ eom´ etriques.