IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
115
avec lim h→0 ε(h) = 0. Comme
−1
◦ f
(x) = Id +u
(x) o` u |||u
(x)||| ≤ k < 1 sur
B(x 0 , r), l’application lin´ eaire
−1
◦ f
(x) est bien inversible. Par cons´ equent f
(x)
l’est aussi, et nous pouvons ´ ecrire
ξ − x = f
(x)
−1
η − y − ε(ξ − x)ξ − x
,
soit
g(η) − g(y) = f
(x)
−1 (η − y) − f
(x)
−1
ε(g(η) − g(y)
g(η) − g(y)
avec lim η→y f
(x)
−1
ε(g(η) − g(y)
= 0 et g(η) − g(y) ≤ K
η − y. On voit ainsi
que g = f
−1 est bien diff´ erentiable au point y et que g
(y) = f
(x)
−1 = f
(g(y))
−1 .
L’inversion d’une matrice ´ etant une op´ eration continue (et mˆ eme ind´ efiniment
diff´ erentiable), on en d´ eduit que g
est continue sur V , c’est-` a-dire que g est de
classe C
1 .
Si f est de classe C
k , k ≥ 2, on v´ erifie par r´ ecurrence que g est aussi de classe C
k :
f
est de classe C
k−1 , g l’est aussi par hypoth` ese de r´ ecurrence, donc g
est de
classe C
k−1 , c’est-` a-dire que g est de classe C
k . Le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
º¾º
∗
ÄÄ ØØ ÓÖ ÑÑ × ÓÒÒØØÓÒ× ÑÔÐÐÐÐØØ× Ø ××× ÚÖÖÖÒØØ×
Nous allons reformuler le th´ eor` eme d’inversion locale pour en tirer diff´ erentes
variantes et diff´ erentes cons´ equences g´ eom´ etriques. La variante la plus importante
est le th´ eor` eme des fonctions implicites.
Th´ eor` eme des fonctions implicites – Soit Ω un ouvert de R
p
× R
m
et f : Ω → R
m une application de classe C
k , k ≥ 1. On se donne un point
(x 0 , y 0 ) ∈ Ω ⊂ R
p
× R
m , et on suppose que
(i) f (x 0 , y 0 ) = 0 ;
(ii) la matrice des d´ eriv´ ees partielles f
y (x 0 , y 0 ) =
∂f i
∂y j
(x 0 , y 0 )
1≤i,j≤m
est inversible dans L(R
m , R
m ).
Alors il existe un voisinage U ×V de (x 0 , y 0 ) dans Ω sur lequel f
y (x, y) est inversible,
et une application g : U → V de classe C
k telle que l’´ equation implicite
f (x, y) = 0 pour (x, y) ∈ U × V soit ´ equivalente ` a y = g(x), x ∈ U . La d´ eriv´ ee de
g est donn´ ee par la formule
g
(x) = −f
y (x, g(x))
−1
◦ f
x (x, g(x)).
Autrement dit, le th´ eor` eme des fonctions implicites dit que l’ensemble des solutions
de l’´ equation f (x, y) = 0 dans U ×V peut ˆ etre explicit´ e comme le graphe y = g(x)
d’une fonction g : U → V de classe C
k , l` a o` u f
y (x, y) est inversible.
Remarque 1 – On voit imm´ ediatement que le th´ eor` eme des fonctions implicites
contient le th´ eor` eme d’inversion locale. Il suffit de poser F (x, y) = x − f (y),
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avec lim h→0 ε(h) = 0. Comme
−1
◦ f
(x) = Id +u
(x) o` u |||u
(x)||| ≤ k < 1 sur
B(x 0 , r), l’application lin´ eaire
−1
◦ f
(x) est bien inversible. Par cons´ equent f
(x)
l’est aussi, et nous pouvons ´ ecrire
ξ − x = f
(x)
−1
η − y − ε(ξ − x)ξ − x
,
soit
g(η) − g(y) = f
(x)
−1 (η − y) − f
(x)
−1
ε(g(η) − g(y)
g(η) − g(y)
avec lim η→y f
(x)
−1
ε(g(η) − g(y)
= 0 et g(η) − g(y) ≤ K
η − y. On voit ainsi
que g = f
−1 est bien diff´ erentiable au point y et que g
(y) = f
(x)
−1 = f
(g(y))
−1 .
L’inversion d’une matrice ´ etant une op´ eration continue (et mˆ eme ind´ efiniment
diff´ erentiable), on en d´ eduit que g
est continue sur V , c’est-` a-dire que g est de
classe C
1 .
Si f est de classe C
k , k ≥ 2, on v´ erifie par r´ ecurrence que g est aussi de classe C
k :
f
est de classe C
k−1 , g l’est aussi par hypoth` ese de r´ ecurrence, donc g
est de
classe C
k−1 , c’est-` a-dire que g est de classe C
k . Le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
º¾º
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ÄÄ ØØ ÓÖ ÑÑ × ÓÒÒØØÓÒ× ÑÔÐÐÐÐØØ× Ø ××× ÚÖÖÖÒØØ×
Nous allons reformuler le th´ eor` eme d’inversion locale pour en tirer diff´ erentes
variantes et diff´ erentes cons´ equences g´ eom´ etriques. La variante la plus importante
est le th´ eor` eme des fonctions implicites.
Th´ eor` eme des fonctions implicites – Soit Ω un ouvert de R
p
× R
m
et f : Ω → R
m une application de classe C
k , k ≥ 1. On se donne un point
(x 0 , y 0 ) ∈ Ω ⊂ R
p
× R
m , et on suppose que
(i) f (x 0 , y 0 ) = 0 ;
(ii) la matrice des d´ eriv´ ees partielles f
y (x 0 , y 0 ) =
∂f i
∂y j
(x 0 , y 0 )
1≤i,j≤m
est inversible dans L(R
m , R
m ).
Alors il existe un voisinage U ×V de (x 0 , y 0 ) dans Ω sur lequel f
y (x, y) est inversible,
et une application g : U → V de classe C
k telle que l’´ equation implicite
f (x, y) = 0 pour (x, y) ∈ U × V soit ´ equivalente ` a y = g(x), x ∈ U . La d´ eriv´ ee de
g est donn´ ee par la formule
g
(x) = −f
y (x, g(x))
−1
◦ f
x (x, g(x)).
Autrement dit, le th´ eor` eme des fonctions implicites dit que l’ensemble des solutions
de l’´ equation f (x, y) = 0 dans U ×V peut ˆ etre explicit´ e comme le graphe y = g(x)
d’une fonction g : U → V de classe C
k , l` a o` u f
y (x, y) est inversible.
Remarque 1 – On voit imm´ ediatement que le th´ eor` eme des fonctions implicites
contient le th´ eor` eme d’inversion locale. Il suffit de poser F (x, y) = x − f (y),