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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
point fixe ϕ(x) = x unique, c’est-` a-dire que l’´ equation f (x) = y d´ etermine un unique
ant´ ec´ edent x ∈ B(0, r
). On en d´ eduit que f (B(0, r
)) ⊃ B(0, (1 − k)r
). Comme
r
< r est arbitraire, on a bien
V = f (B(0, r)) ⊃ B(0, (1 − k)r).
Ceci d´ emontre d´ ej` a (3). En se pla¸ cant en un point x 1 ∈ B(x 0 , r) quelconque et
en rempla¸ cant r par ε > 0 petit, on voit que l’image f (B(x 1 , ε)) contient un
voisinage B(f (x 1 ), (1 − k)ε) de f (x 1 ), par suite V = f (B(x 0 , r)) est un ouvert.
Enfin, l’in´ egalit´ e de gauche dans l’encadrement de Lipschitz de f implique
(1 − k)f
−1 (y 2 ) − f
−1 (y 1 ) ≤ ≤y 2 − y 1
pour tous y 1 , y 2 ∈ V , ce qui entraˆ ıne que f
−1 est continue (1 − k)
−1 -lipschitzienne
et que f est un hom´ eomorphisme de B(x 0 , r) sur V . Le lemme est d´ emontr´ e.
Th´ eor` eme d’inversion locale – Soit f : Ω → R
m une application de classe
C
k d´ efinie sur un ouvert Ω de R
m avec k ≥ 1. ´
Etant donn´ e un point x 0 ∈ Ω, on
suppose que l’application lin´ eaire tangente = f
(x 0 ) ∈ L(R
m , R
m ) est inversible.
Alors
(1) Il existe un voisinage U = B(x 0 , r) de x 0 tel que V = f (U ) soit un ouvert de
R
m et f un diff´ eomorphisme de classe C
k de U sur V .
(2) Pour tout y = f (x), x ∈ U , la diff´ erentielle de g = f
−1 est donn´ ee par
g
(y) = (f
(x))
−1 , soit g
(y) = (f
(g(y)))
−1 ou encore
(f
−1 )
(y) = (f
(f
−1 (y)))
−1
∈ L(R
m , R
m ).
(3) On suppose k ≥ 2. Si B(x 0 , r 0 ) ⊂ Ω et si M est un majorant de f
sur
B(x 0 , r 0 ), on peut choisir U = B(x 0 , r) avec r = min(r 0 ,
1
2 M
−1
|||
−1
|||
−1 ).
D´ emonstration. L’application u(x) =
−1 (f (x)) − x est de classe C
1 et on a
u
(x 0 ) =
−1
◦ f
(x 0 ) − Id = 0 dans L(R
m , R
m ). Par continuit´ e de u
, il existe une
boule B(x 0 , r) sur laquelle |||u
(x)||| ≤ k < 1, ce qui entraˆ ıne que u est contractante
de rapport k. Le lemme pr´ ec´ edent montre alors que
f (x) =
−1
◦ f (x) = x + u(x)
d´ efinit un hom´ eomorphisme lipschitzien de U = B(x 0 , r) sur
V =
f (V ), donc
f = ◦
f est un hom´ eomorphisme lipschitzien de U sur V = (
V ), la constante de
Lipschitz de f ´ etant major´ ee par K = (1 + k)|||l||| et celle de g = f
−1 =
f
−1
◦
−1
par K
= (1 − k)
−1
|||
−1
|||.
Maintenant, si f est de classe C
2 et |||f
||| ≤ M sur la boule B(x 0 , r 0 ) ⊂ Ω,
nous avons u
=
−1
◦ f
, donc |||u
||| ≤ M |||
−1
||| et le th´ eor` eme des accroissements finis nous donne |||u
(x)||| ≤ M |||
−1
||||x − x 0 sur B(x 0 , r 0 ). Pour
r = min(r 0 ,
1
2 M
−1
|||
−1
|||
−1 ), on voit que |||u
||| ≤ k =
1
2 sur B(x 0 , r) et on peut
appliquer ce qui pr´ ec` ede.
Pour tous y, η ∈ V et x = g(y), ξ = g(x) ∈ U = B(x 0 , r), l’hypoth` ese de
diff´ erentiablilit´ e de f au point x implique
η − y = f (ξ) − f (x) = f
(x)(ξ − x) + ε(ξ − x)ξ − x
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
point fixe ϕ(x) = x unique, c’est-` a-dire que l’´ equation f (x) = y d´ etermine un unique
ant´ ec´ edent x ∈ B(0, r
). On en d´ eduit que f (B(0, r
)) ⊃ B(0, (1 − k)r
). Comme
r
< r est arbitraire, on a bien
V = f (B(0, r)) ⊃ B(0, (1 − k)r).
Ceci d´ emontre d´ ej` a (3). En se pla¸ cant en un point x 1 ∈ B(x 0 , r) quelconque et
en rempla¸ cant r par ε > 0 petit, on voit que l’image f (B(x 1 , ε)) contient un
voisinage B(f (x 1 ), (1 − k)ε) de f (x 1 ), par suite V = f (B(x 0 , r)) est un ouvert.
Enfin, l’in´ egalit´ e de gauche dans l’encadrement de Lipschitz de f implique
(1 − k)f
−1 (y 2 ) − f
−1 (y 1 ) ≤ ≤y 2 − y 1
pour tous y 1 , y 2 ∈ V , ce qui entraˆ ıne que f
−1 est continue (1 − k)
−1 -lipschitzienne
et que f est un hom´ eomorphisme de B(x 0 , r) sur V . Le lemme est d´ emontr´ e.
Th´ eor` eme d’inversion locale – Soit f : Ω → R
m une application de classe
C
k d´ efinie sur un ouvert Ω de R
m avec k ≥ 1. ´
Etant donn´ e un point x 0 ∈ Ω, on
suppose que l’application lin´ eaire tangente = f
(x 0 ) ∈ L(R
m , R
m ) est inversible.
Alors
(1) Il existe un voisinage U = B(x 0 , r) de x 0 tel que V = f (U ) soit un ouvert de
R
m et f un diff´ eomorphisme de classe C
k de U sur V .
(2) Pour tout y = f (x), x ∈ U , la diff´ erentielle de g = f
−1 est donn´ ee par
g
(y) = (f
(x))
−1 , soit g
(y) = (f
(g(y)))
−1 ou encore
(f
−1 )
(y) = (f
(f
−1 (y)))
−1
∈ L(R
m , R
m ).
(3) On suppose k ≥ 2. Si B(x 0 , r 0 ) ⊂ Ω et si M est un majorant de f
sur
B(x 0 , r 0 ), on peut choisir U = B(x 0 , r) avec r = min(r 0 ,
1
2 M
−1
|||
−1
|||
−1 ).
D´ emonstration. L’application u(x) =
−1 (f (x)) − x est de classe C
1 et on a
u
(x 0 ) =
−1
◦ f
(x 0 ) − Id = 0 dans L(R
m , R
m ). Par continuit´ e de u
, il existe une
boule B(x 0 , r) sur laquelle |||u
(x)||| ≤ k < 1, ce qui entraˆ ıne que u est contractante
de rapport k. Le lemme pr´ ec´ edent montre alors que
f (x) =
−1
◦ f (x) = x + u(x)
d´ efinit un hom´ eomorphisme lipschitzien de U = B(x 0 , r) sur
V =
f (V ), donc
f = ◦
f est un hom´ eomorphisme lipschitzien de U sur V = (
V ), la constante de
Lipschitz de f ´ etant major´ ee par K = (1 + k)|||l||| et celle de g = f
−1 =
f
−1
◦
−1
par K
= (1 − k)
−1
|||
−1
|||.
Maintenant, si f est de classe C
2 et |||f
||| ≤ M sur la boule B(x 0 , r 0 ) ⊂ Ω,
nous avons u
=
−1
◦ f
, donc |||u
||| ≤ M |||
−1
||| et le th´ eor` eme des accroissements finis nous donne |||u
(x)||| ≤ M |||
−1
||||x − x 0 sur B(x 0 , r 0 ). Pour
r = min(r 0 ,
1
2 M
−1
|||
−1
|||
−1 ), on voit que |||u
||| ≤ k =
1
2 sur B(x 0 , r) et on peut
appliquer ce qui pr´ ec` ede.
Pour tous y, η ∈ V et x = g(y), ξ = g(x) ∈ U = B(x 0 , r), l’hypoth` ese de
diff´ erentiablilit´ e de f au point x implique
η − y = f (ξ) − f (x) = f
(x)(ξ − x) + ε(ξ − x)ξ − x