IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
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º ÄÄ ØØ ÓÖ ÑÑ × ÓÒÒØØÓÒ× ÑÔÐÐÐÐØØ×
Nous allons ici exploiter le th´ eor` eme du point fixe pour d´ emontrer quelques
r´ esultats fondamentaux du calcul diff´ erentiel. Notre objectif est d’obtenir aussi
des estimations quantitatives pour ces th´ eor` emes, parce que ces estimations sont
souvent n´ ecessaires pour majorer les erreurs commises dans les calculs num´ eriques.
º½º ÄÄ ØØ ÓÖ ÑÑ ³³ÒÚÚÖ××ÓÒ ÐÓÓÓÐÐ
Nous commen¸ cons par un lemme de perturbation, qui s’applique dans un espace
num´ erique R
m muni d’une norme N quelconque.
Lemme – Soit f : B(x 0 , r) → R
m une application d´ efinie sur une boule de rayon
r dans R
m , telle que
f (x) = x + u(x)
o` u u est une application contractante de rapport k < 1 ( petite perturbation de
l’identit´ e ). Alors
(1) f est un hom´ eomorphisme de B(x 0 , r) sur un ouvert V = f (B(x 0 , r)) de R
m ;
(2) f est (1 + k)-lipschitzienne et son application r´ eciproque f
−1 : V → B(x 0 , r) est
(1 − k)
−1 lipschitzienne ;
(3) l’image V satisfait l’encadrement
B(f (x 0 ), (1 − k)r) ⊂ V ⊂ B(f (x 0 ), (1 + k)r).
D´ emonstration. Quitte `
a remplacer f par
f (x) = f (x + x 0 ) − f (x 0 ) et u par
u(x) = u(x + x 0 ) − u(x 0 ), on peut supposer que x 0 = 0 et f (0) = u(0) = 0. On a
de fa¸ con ´ evidente
x 2 − x 1 − −u(x 2 ) − u(x 1 ) ≤ ≤f (x 2 ) − f (x 1 ) ≤ ≤x 2 − x 1 + u(x 2 ) − u(x 1 ),
(1 − k)x 2 − x 1 ≤ ≤f (x 2 ) − f (x 1 ) ≤ (1 + k)x 2 − x 1 .
Il en r´ esulte que f est injective et (1 + k)-lipschitzienne, et que f (x) ≤ (1 + k)x.
Par suite f est une bijection de B(0, r) sur son image V , et
V = f (B(0, r)) ⊂ B(0, (1 + k)r).
On consid` ere maintenant un rayon r
< r quelconque, et pour y ∈ R
m donn´ e, on
introduit l’application
ϕ(x) = y + x − f (x) = y − u(x).
De mˆ eme que u, c’est une application k-lipschitzienne, et comme
ϕ(x) ≤ ≤y + kx,
on voit que ϕ envoie B(0, r
) dans B(0, r
) d` es lors que y ≤ (1−k)r
. Le th´ eor` eme
du point fixe appliqu´ e ` a l’espace complet E = B(0, r
) implique que ϕ poss` ede un
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Nous allons ici exploiter le th´ eor` eme du point fixe pour d´ emontrer quelques
r´ esultats fondamentaux du calcul diff´ erentiel. Notre objectif est d’obtenir aussi
des estimations quantitatives pour ces th´ eor` emes, parce que ces estimations sont
souvent n´ ecessaires pour majorer les erreurs commises dans les calculs num´ eriques.
º½º ÄÄ ØØ ÓÖ ÑÑ ³³ÒÚÚÖ××ÓÒ ÐÓÓÓÐÐ
Nous commen¸ cons par un lemme de perturbation, qui s’applique dans un espace
num´ erique R
m muni d’une norme N quelconque.
Lemme – Soit f : B(x 0 , r) → R
m une application d´ efinie sur une boule de rayon
r dans R
m , telle que
f (x) = x + u(x)
o` u u est une application contractante de rapport k < 1 ( petite perturbation de
l’identit´ e ). Alors
(1) f est un hom´ eomorphisme de B(x 0 , r) sur un ouvert V = f (B(x 0 , r)) de R
m ;
(2) f est (1 + k)-lipschitzienne et son application r´ eciproque f
−1 : V → B(x 0 , r) est
(1 − k)
−1 lipschitzienne ;
(3) l’image V satisfait l’encadrement
B(f (x 0 ), (1 − k)r) ⊂ V ⊂ B(f (x 0 ), (1 + k)r).
D´ emonstration. Quitte `
a remplacer f par
f (x) = f (x + x 0 ) − f (x 0 ) et u par
u(x) = u(x + x 0 ) − u(x 0 ), on peut supposer que x 0 = 0 et f (0) = u(0) = 0. On a
de fa¸ con ´ evidente
x 2 − x 1 − −u(x 2 ) − u(x 1 ) ≤ ≤f (x 2 ) − f (x 1 ) ≤ ≤x 2 − x 1 + u(x 2 ) − u(x 1 ),
(1 − k)x 2 − x 1 ≤ ≤f (x 2 ) − f (x 1 ) ≤ (1 + k)x 2 − x 1 .
Il en r´ esulte que f est injective et (1 + k)-lipschitzienne, et que f (x) ≤ (1 + k)x.
Par suite f est une bijection de B(0, r) sur son image V , et
V = f (B(0, r)) ⊂ B(0, (1 + k)r).
On consid` ere maintenant un rayon r
< r quelconque, et pour y ∈ R
m donn´ e, on
introduit l’application
ϕ(x) = y + x − f (x) = y − u(x).
De mˆ eme que u, c’est une application k-lipschitzienne, et comme
ϕ(x) ≤ ≤y + kx,
on voit que ϕ envoie B(0, r
) dans B(0, r
) d` es lors que y ≤ (1−k)r
. Le th´ eor` eme
du point fixe appliqu´ e ` a l’espace complet E = B(0, r
) implique que ϕ poss` ede un