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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On voit que le syst` eme pr´ ec´ edent admet une solution S
a
b
unique, avec
a
b
−2
0, 2
tr` es grossi` erement. Pour obtenir une valeur approch´ ee plus pr´ ecise, on
cherche ` a r´ esoudre l’´ equation f
x
y
=
0
0
avec
f
x
y
=
x
2 + xy − 2y
2
− 4
xe
x + ye
y
.
L’application lin´ eaire tangente ` a f est donn´ ee par
f
x
y
=
∂f1
∂x
∂f1
∂y
∂f2
∂x
∂f2
∂y
=
2x + y
x− 4y
(x + 1)e
x (y + 1)e
y
La condition f
(S) inversible signifie que les tangentes
∂f i
∂x
(S)(x − a) +
∂f i
∂y
(S)(y − b) = 0, i = 1, 2,
aux courbes C 1 , C 2 au point S sont distinctes. C’est bien le cas ici. On obtient
f
x
y
−1
=
1
∆(x, y)
(x + 1)e
y
−x + 4y
−(x + 1)e
x
2x + y
avec ∆(x, y) = (2x + y)(y + 1)e
y
− (x − 4y)(x + 1)e
x . On est alors amen´ e ` a calculer
les it´ er´ es
x p+1
y p+1
= ϕ
x p
y p
avec
ϕ
x
y
=
x
y
−
1
∆(x, y)
(y + 1)e
y
−x + 4y
−(x + 1)e
x
2x + y
x
2 + xy − 2y
2
− 4
xe
x + ye
y
Partant du point initial
x 0
y 0
=
−2
0, 2
, on trouve
p
x p
y p
0
−2
0, 2
1
−2, 130690999
0, 205937784
2
−2, 126935837
0, 206277868
3
−2, 126932304
0, 206278156
4
−2, 126932304
0, 206278156
d’o` u S =
a
b
−2, 126932304
0, 206278156
.