IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
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On en d´ eduit ϕ
(a) = 0 et ϕ
(a) = f
(a)
−1
◦ f
(a). En particulier
ϕ(a + h) − a ≤
1
2
(M + ε(h))h
2
o` u M = |||ϕ
(a)|||. Le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
Exemple – Soit `
a r´ esoudre le syst` eme
x
2 + xy − 2y
2 = 4
xe
x + ye
y = 0.
On commence par tracer les courbes C 1 : x
2 + xy − 2y
2 = 4 et C 2 : xe
x + ye
y = 0
de mani` ere ` a obtenir graphiquement une approximation grossi` ere des solutions.
C 1 est une hyperbole d’asymptotes x
2 + xy − 2y
2 = (x − y)(x + 2y) = 0 ; cette
hyperbole passe par les points
2
0
et
−2
0
.
La courbe C 2 est sym´ etrique par rapport `
a la droite y = x ; de plus x, y sont
n´ ecessairement de signe oppos´ es. Supposons par exemple x ≤ 0, y ≥ 0. Comme la
fonction y → ye
y est strictement croissante de [0, +∞[ sur [0, +∞[, `
a chaque point
x ≤ 0 correspond un unique point y ≥ 0. Ce point y est la solution de xe
x +ye
y = 0,
et peut par exemple s’obtenir par it´ eration de la fonction
ϕ(x) = y −
xe
x + ye
y
(1 + y)e y =
y
2
− xe
x−y
1 + y
,
fournie par la m´ ethode de Newton appliqu´ ee ` a la variable y. Pour x = 0, on a
y = 0 ; en d´ ecr´ ementant x par pas de 0, 1 avec comme valeur initiale de y 0 la valeur
de la solution y trouv´ ee pour la valeur x pr´ ec´ edente, on obtient la courbe C 2 .
y =
x
y = < x / 2
S
−2
1
2
x
y
1
C 1
C 2