IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
123
que pour x ≥ 1 la solution y de la premi` ere ´ equation est fonction croissante de x
et en d´ eduire que le syst` eme (S) admet une solution (x, y) unique pour a ≥ 31.
(b) Montrer que la solution (x, y) est telle que
y = x +
3
1 + ln c
ø` u c ∈ ]x, y[.
En d´ eduire un ´ equivalent de x et y en fonction de a quand a tend vers +∞.
Pouvez-vous raffiner cet ´ equivalent et donner un d´ eveloppement plus pr´ ecis ?
(c) ´
Ecrire l’algorithme permettant de r´ esoudre le syst` eme (S) au moyen de la
m´ ethode de Newton. On prendra a = 10
4 .
5.8. Soit A une alg` ebre unitaire norm´ ee de dimension finie sur R, par exemple
l’alg` ebre des matrices carr´ ees m × m. Soit u ∈ A un ´ el´ ement inversible.
(a) Montrer qu’il existe des r´ eels α, β tels que l’application ϕ(x) = αx + βxux
admette x = u
−1 comme point fixe superattractif.
(b) Pour les valeurs de α, β trouv´ ees au (a), montrer que l’on a l’in´ egalit´ e
|||ϕ
(x)||| ≤ 2u x−u
−1
. En d´ eduire que la suite it´ er´ ee x p+1 = ϕ(x p ) converge
vers u
−1 d` es que x 0 ∈ B(u
−1 , r) avec r <
1
2u .
(c) On suppose u = e − v avec e = ´ el´ ement unit´ e de A et λ = v < 1. Montrer
que u est inversible et que u
−1 =
+∞
k=0
v
k . D´ eterminer un entier n ∈ N tel que
l’algorithme du (b) converge pour x 0 = e + v + . . . + v
n .
(d) On suppose ici que A est commutative (exemple : A = R ou A = C). Chercher
un algorithme permettant de d´ eterminer une racine carr´ ee de u (s’il en existe),
en utilisant uniquement additions et multiplications (Indication : consid´ erer
ψ(x) = αx + βux
3 ).
Si A = R, comment peut-on choisir x 0 pour ˆ etre assur´ e d’obtenir la convergence ?
5.9
∗ . On suppose f : Ω → R
p de classe C
k , k ≥ 2, o` u Ω est un ouvert de R
m
× R
p .
Soit (x 0 , y 0 ) ∈ Ω un point tel que f (x 0 , y 0 ) = 0 et = f
y (x 0 , y 0 ) inversible. Donner
des estimations pr´ ecises de la taille des voisinages U , V intervenant dans le th´ eor` eme
des fonctions implicites en fonction de ||||||, |||
−1
||| et de bornes sur les d´ eriv´ ees
premi` eres et secondes de f sur un voisinage B(x 0 , r 0 ) × B(y 0 , r
0 ) ⊂ Ω.
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que pour x ≥ 1 la solution y de la premi` ere ´ equation est fonction croissante de x
et en d´ eduire que le syst` eme (S) admet une solution (x, y) unique pour a ≥ 31.
(b) Montrer que la solution (x, y) est telle que
y = x +
3
1 + ln c
ø` u c ∈ ]x, y[.
En d´ eduire un ´ equivalent de x et y en fonction de a quand a tend vers +∞.
Pouvez-vous raffiner cet ´ equivalent et donner un d´ eveloppement plus pr´ ecis ?
(c) ´
Ecrire l’algorithme permettant de r´ esoudre le syst` eme (S) au moyen de la
m´ ethode de Newton. On prendra a = 10
4 .
5.8. Soit A une alg` ebre unitaire norm´ ee de dimension finie sur R, par exemple
l’alg` ebre des matrices carr´ ees m × m. Soit u ∈ A un ´ el´ ement inversible.
(a) Montrer qu’il existe des r´ eels α, β tels que l’application ϕ(x) = αx + βxux
admette x = u
−1 comme point fixe superattractif.
(b) Pour les valeurs de α, β trouv´ ees au (a), montrer que l’on a l’in´ egalit´ e
|||ϕ
(x)||| ≤ 2u x−u
−1
. En d´ eduire que la suite it´ er´ ee x p+1 = ϕ(x p ) converge
vers u
−1 d` es que x 0 ∈ B(u
−1 , r) avec r <
1
2u .
(c) On suppose u = e − v avec e = ´ el´ ement unit´ e de A et λ = v < 1. Montrer
que u est inversible et que u
−1 =
+∞
k=0
v
k . D´ eterminer un entier n ∈ N tel que
l’algorithme du (b) converge pour x 0 = e + v + . . . + v
n .
(d) On suppose ici que A est commutative (exemple : A = R ou A = C). Chercher
un algorithme permettant de d´ eterminer une racine carr´ ee de u (s’il en existe),
en utilisant uniquement additions et multiplications (Indication : consid´ erer
ψ(x) = αx + βux
3 ).
Si A = R, comment peut-on choisir x 0 pour ˆ etre assur´ e d’obtenir la convergence ?
5.9
∗ . On suppose f : Ω → R
p de classe C
k , k ≥ 2, o` u Ω est un ouvert de R
m
× R
p .
Soit (x 0 , y 0 ) ∈ Ω un point tel que f (x 0 , y 0 ) = 0 et = f
y (x 0 , y 0 ) inversible. Donner
des estimations pr´ ecises de la taille des voisinages U , V intervenant dans le th´ eor` eme
des fonctions implicites en fonction de ||||||, |||
−1
||| et de bornes sur les d´ eriv´ ees
premi` eres et secondes de f sur un voisinage B(x 0 , r 0 ) × B(y 0 , r
0 ) ⊂ Ω.