IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
109
or ϕ
(x) · h = ϕ(x + h) − ϕ(x) − −hε(h),
ϕ
(x) · h ≤ ≤ϕ(x + h) − ϕ(x) + h ε(h)
≤ kh + h ε(h) ≤ (k + δ)h.
Il vient donc |||ϕ
(x)||| N ≤ k + δ, et ce quel que soit δ > 0.
(2) Inversement, si Ω est convexe, on peut ´ ecrire
ϕ(y) − ϕ(x) = ψ(1) − ψ(0) =
1
0
ψ
(t)dt
avec
ψ(t) = ϕ(x + t(y − x)), ψ
(t) = ϕ
(x + t(y − x)) · (y − x).
On en d´ eduit
ϕ(y) − ϕ(x) =
1
0
ϕ
(x + t(y − x)) · (y − x)dt,
ϕ(y) − ϕ(x) ≤
1
0
|||ϕ
(x + t(y − x))||| N y − xdt ≤ ky − x.
Th´ eor` eme – Soit a ∈ Ω un point fixe de ϕ. Alors les deux propri´ et´ es suivantes
sont ´ equivalentes :
(i) Il existe un voisinage ferm´ e V de a tel que ϕ(V ) ⊂ V et une norme N sur R
n
telle que ϕ| V soit contractante pour N .
(ii) ρ(ϕ
(a)) < 1.
On dit alors que le point fixe a est attractif.
D´ emonstration. Si ϕ| V est contractante de rapport k < 1 alors d’apr` es la partie
(1) du lemme on a
ρ(ϕ
(a)) ≤ |||ϕ
(a)||| N ≤ k < 1.
Inversement, si ρ(ϕ
(a)) < 1, il existe une norme euclidienne N telle que
|||ϕ
(a)||| N < 1. Par continuit´ e de ϕ
, il existe une boule ferm´ ee V = B(a, r), r > 0,
telle que sup V |||ϕ
||| N = k < 1. Comme V est convexe, ϕ est alors contractante de
rapport k sur V ; en particulier ϕ(V ) ⊂ B(a, kr) ⊂ V .
Remarque – Si ϕ est de classe C
2 et si ϕ
(a) = 0, la formule de Taylor montre
qu’il existe une constante M ≥ 0 telle que
ϕ(x) − a ≤ M x − a
2 , x ∈ B(a, r).
Le ph´ enom` ene de convergence quadratique a donc encore lieu ici.