108
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
hermitienne sur C
m ayant ( e 1 , . . . ,
e m ) pour base orthonorm´ ee et N e la norme
euclidienne induite sur R
m (restriction de N h ` a R
m ). On a alors
|||A||| Ne ≤ |||
A||| N h ≤ |||D||| N h + |||T ||| N h .
Comme |||D||| N h = ρ(A) et comme |||T ||| N h = O(ε) peut ˆ etre rendue arbitrairement
petite, il vient
inf
N ∈Ne
|||A||| Ne ≤ ρ(A).
(3) On a d’une part ρ(A) = ρ(A
p )
1/p
≤ |||A
p
|||
1/p
N .
Inversement, ´ etant donn´ e ε > 0, on peut choisir grˆ ace ` a (2) une norme euclidienne
N ε ∈ N e telle que |||A||| Nε ≤ ρ(A) + ε. Comme toutes les normes sur l’espace de
dimension finie des matrices carr´ ees m × m sont ´ equivalentes, il existe une constante
C ε ≥ 1 telle que |||B||| N ≤ C ε |||B||| Ne pour toute matrice B. Pour B = A
p , on en
d´ eduit
|||A
p
||| N ≤ C ε |||A
p
||| Nε ≤ C ε |||A|||
p
Nε ≤ C ε (ρ(A) + ε)
p ,
|||A
p
|||
1/p
N ≤ C
1/p
ε (ρ(A) + ε).
Comme lim
p→+∞
C
1/p
ε
= 1, il existe p ε ∈ N tel que
p ≥ p ε → |||A
p
|||
1/p
N ≤ ρ(A) + 2ε,
et le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
¿º¾º ÖÖØ ÖÖ ³³ØØÖÖØØÚÚØ
Soit Ω un ouvert de R
m et ϕ : Ω → R
m une fonction de classe C
1 . Soit N =
une norme fix´ ee sur R
m . On note ϕ
(x) ∈ L(R
m , R
m ) l’application lin´ eaire tangente
au point x ∈ Ω, de sorte que
ϕ(x + h) − ϕ(x) = ϕ
(x) · h + hε(h), lim
h→0
ε(h) = 0.
Lemme
(1) Si ϕ est k-lipschizienne sur Ω relativement `
a la norme N , alors |||ϕ
(x)||| N ≤ k
pour tout x ∈ Ω.
(2) Si Ω est convexe et si |||ϕ
(x)||| N ≤ k pour tout x ∈ Ω, alors ϕ est
k-lipschitzienne sur Ω relativement `
a N .
D´ emonstration
(1) Pour tout δ > 0, il existe r > 0 tel que h ≤ r → →ε(h) ≤ δ. Par lin´ earit´ e de
ϕ
(x), on a
|||ϕ
(x)||| N = sup
h=r
ϕ
(x) · h
h
;