IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
107
L’´ egalit´ e AZ = λZ = (α + iβ)(X + iY ) donne pour les parties r´ eelles et imaginaires
les ´ egalit´ es AX = αX − βY , AY = βX + αY d’o` u
A(αX + βY ) = (α
2 + β
2 )X
A(−βX + αY ) = (α
2 + β
2 )Y.
Il s’ensuit
(α
2 + β
2 )N (X) ≤ |||A||| N N (αX + βY ) ≤ |||A||| N (|α| N (X) + |β| N (Y )),
(α
2 + β
2 )N (Y ) ≤ |||A||| N N (−βX + αY ) ≤ |||A||| N (|α| N (Y ) + |β| N (X)).
Apr` es addition et simplification par N (X) + N (Y ) on obtient
|λ|
2 = α
2 + β
2
≤ |||A||| N (|α| + |β|) ≤ 2|λ| |||A||| N ,
d’o` u |λ| ≤ 2|||A||| N . Par cons´ equent ρ(A) ≤ 2|||A||| N . D’apr` es la remarque initiale et
le r´ esultat pr´ ec´ edent appliqu´ e ` a A
p , il vient
ρ(A)
p = ρ(A
p ) ≤ 2|||A
p
||| N ≤ 2|||A|||
p
N
soit ρ(A) ≤ 2
1/p
|||A||| N . En faisant tendre p vers +∞, la conclusion attendue
ρ(A) ≤ |||A||| N s’ensuit.
(2) D’apr` es (1) et l’inclusion N e ⊂ N on obtient
ρ(A) ≤ inf
N ∈N
|||A||| N ≤ inf
N ∈Ne
|||A||| N .
Il suffit donc de voir que inf
N ∈Ne
|||A||| N ≤ ρ(A).
Pour cela, consid´ erons A comme un endomorphisme de C
m , d´ efini par une matrice
` a coefficients r´ eels. Il existe une base (e 1 , . . . , e m ) de C
m dans laquelle A devient
triangulaire sup´ erieure :
A
=
a 11
. . .
a 1m
. . . a ij
. . .
0
a mm
, j ≥ i, a ii = λ i .
Si on remplace la base (e 1 , . . . , e m ) par la base
( e j ) = (e 1 , εe 2 , ε
2 e 3 , . . . , ε
m−1 e m )
avec ε > 0 petit, on voit que le coefficient a ij de A est remplac´ e par ε
j−i a ij . Pour
les coefficients au-dessus de la diagonale on a j > i, donc ε
j−i est petit. Dans une
base convenable ( e 1 ,
e 2 , . . . ,
e m ) de C
m , la matrice A se transforme donc en une
matrice
A = D + T
o` u D est diagonale de valeurs propres λ 1 , . . . , λ m et T strictement triangulaire
sup´ erieure avec des coefficients O(ε) arbitrairement petits. Soit N h la norme
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L’´ egalit´ e AZ = λZ = (α + iβ)(X + iY ) donne pour les parties r´ eelles et imaginaires
les ´ egalit´ es AX = αX − βY , AY = βX + αY d’o` u
A(αX + βY ) = (α
2 + β
2 )X
A(−βX + αY ) = (α
2 + β
2 )Y.
Il s’ensuit
(α
2 + β
2 )N (X) ≤ |||A||| N N (αX + βY ) ≤ |||A||| N (|α| N (X) + |β| N (Y )),
(α
2 + β
2 )N (Y ) ≤ |||A||| N N (−βX + αY ) ≤ |||A||| N (|α| N (Y ) + |β| N (X)).
Apr` es addition et simplification par N (X) + N (Y ) on obtient
|λ|
2 = α
2 + β
2
≤ |||A||| N (|α| + |β|) ≤ 2|λ| |||A||| N ,
d’o` u |λ| ≤ 2|||A||| N . Par cons´ equent ρ(A) ≤ 2|||A||| N . D’apr` es la remarque initiale et
le r´ esultat pr´ ec´ edent appliqu´ e ` a A
p , il vient
ρ(A)
p = ρ(A
p ) ≤ 2|||A
p
||| N ≤ 2|||A|||
p
N
soit ρ(A) ≤ 2
1/p
|||A||| N . En faisant tendre p vers +∞, la conclusion attendue
ρ(A) ≤ |||A||| N s’ensuit.
(2) D’apr` es (1) et l’inclusion N e ⊂ N on obtient
ρ(A) ≤ inf
N ∈N
|||A||| N ≤ inf
N ∈Ne
|||A||| N .
Il suffit donc de voir que inf
N ∈Ne
|||A||| N ≤ ρ(A).
Pour cela, consid´ erons A comme un endomorphisme de C
m , d´ efini par une matrice
` a coefficients r´ eels. Il existe une base (e 1 , . . . , e m ) de C
m dans laquelle A devient
triangulaire sup´ erieure :
A
=
a 11
. . .
a 1m
. . . a ij
. . .
0
a mm
, j ≥ i, a ii = λ i .
Si on remplace la base (e 1 , . . . , e m ) par la base
( e j ) = (e 1 , εe 2 , ε
2 e 3 , . . . , ε
m−1 e m )
avec ε > 0 petit, on voit que le coefficient a ij de A est remplac´ e par ε
j−i a ij . Pour
les coefficients au-dessus de la diagonale on a j > i, donc ε
j−i est petit. Dans une
base convenable ( e 1 ,
e 2 , . . . ,
e m ) de C
m , la matrice A se transforme donc en une
matrice
A = D + T
o` u D est diagonale de valeurs propres λ 1 , . . . , λ m et T strictement triangulaire
sup´ erieure avec des coefficients O(ε) arbitrairement petits. Soit N h la norme