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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ efinition – On appelle spectre de u la famille (λ 1 , . . . , λ m ) de ses valeurs
propres r´ eelles ou complexes, compt´ ees avec multiplicit´ es ( = racines du polynˆ ome
caract´ eristique). On appelle rayon spectral de u, not´ e ρ(u), la quantit´ e
ρ(u) = max
1≤i≤m
|λ i |.
´
Etant donn´ e une norme N sur E, on peut d’autre part associer `
a u sa norme |||u||| N
en tant qu’op´ erateur lin´ eaire sur E :
|||u||| N = sup
x∈E\{0}
N (u(x))
N (x)
.
On notera N (resp. N e ) l’ensemble des normes (resp. des normes euclidiennes)
d´ efinies sur E.
Th´ eor` eme – Soit u un endomorphisme quelconque de E. Alors
(1) Pour tout N ∈ N, ρ(u) ≤ |||u||| N .
(2) ρ(u) = inf
N ∈N
|||u||| N = inf
N ∈Ne
|||u||| N .
(3) Pour tout N ∈ N, ρ(u) = lim
p→+∞
|||u
p
|||
1/p
N .
Remarque – Consid´ erons l’espace R
2 muni de sa norme euclidienne canonique
et u a l’endomorphisme de matrice
0 a
0 1
, a ∈ R. On a ρ(u a ) = 1 et pourtant
la norme |||u a ||| n’est pas born´ ee quand |a| → +∞ ; l’in´ egalit´ e (1) n’a donc pas
de r´ eciproque. Pour m = dim E ≥ 2, le rayon spectral n’est pas une norme
sur L(E, E) ; il ne v´ erifie d’ailleurs pas l’in´ egalit´ e triangulaire, comme le montre
l’exemple suivant : si u, v sont les endomorphismes de matrices
Mat(u) =
0 1
0 0
et Mat(v) =
0 0
1 0
,
on a ρ(u) = ρ(v) = 0, mais ρ(u + v) = 1.
D´ emonstration
∗ . Une base de E ´ etant fix´ ee, on peut identifier E ` a R
m et u ` a une
matrice A carr´ ee m × m. Observons d’abord que si (λ 1 , . . . , λ m ) est le spectre de
A, alors le spectre de A
p est (λ
p
1 , . . . , λ
p
m ). On a donc
ρ(A
p ) = ρ(A)
p .
(1) Soit λ une valeur propre de A. Si λ ∈ R, soit X un vecteur propre associ´ e,
X = 0. Les ´ egalit´ es AX = λX, N (AX) = |λ|N (X) entraˆ ınent bien |λ| ≤ |||A||| N .
Supposons maintenant que λ = α + iβ soit une valeur propre complexe non r´ eelle de
A. Soit Z = X + iY un vecteur colonne complexe, propre pour la valeur propre λ.