IV – M´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations
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Des calculs imm´ ediats donnent
∂ψ
∂x
= 1 −
f
(x)τ (x, y) − f (x)
∂τ
∂x
τ (x, y) 2
=
τ (x, y) − f
(x)
τ (x, y)
+ f (x)
∂τ
∂x
τ (x, y) 2 ,
∂ψ
∂y
= f (x)
∂τ
∂y
τ (x, y) 2 .
Comme |f (x)| = |f (x) − f (a)| ≤ M 1 |x − a|, les in´ egalit´ es ci-dessus impliquent
∂ψ
∂x
≤
M 2 |y − x|
2m 1
+ M 1 |x − a|
M 2
2m 2
1
,
∂ψ
∂y
≤ M 1 |x − a|
M 2
2m 2
1
.
Pour (x, y) = (a + th 1 , a + th 0 ), on a |y − x| ≤ (|h 0 | + |h 1 |)t et |x − a| = |h 1 |t, d’o` u
∂ψ
∂x
≤
M 2
2m 1
(|h 0 | + |h 1 |) +
M 1 M 2
2m 2
1
|h 1 |
t,
∂ψ
∂y
≤
M 1 M 2
2m 2
1
|h 1 |t,
|h 2 | ≤
M 2
2m 1
+
M 1 M 2
2m 2
1
|h 1 |(|h 0 | + |h 1 |)
1
0
tdt
=
K
2
|h 1 |(|h 0 | + |h 1 |) ≤ K|h 1 | max(|h 0 |, |h 1 |).
Comme |h 0 |, |h 1 | ≤ h ≤
1
K , on voit que |h 2 | ≤ |h 1 |. De mˆ eme
|h p+1 | ≤ K|h p | max(|h p |, |h p−1 |),
et ceci entraˆ ıne par r´ ecurrence que la suite (|h p |) p≥1 est d´ ecroissante :
|h p | ≤ |h p−1 | ≤ . . . ≤ |h 1 | ≤
1
K implique |h p+1 | ≤ |h p |. On en d´ eduit
|h p+1 | ≤ K|h p ||h p−1 | pour p ≥ 2.
L’in´ egalit´ e |h p | ≤
1
K [K max(|h 0 |, |h 1 |)]
sp est triviale si p = 0 ou p = 1, r´ esulte de
l’estimation d´ ej` a vue pour h 2 si p = 2, et se g´ en´ eralise facilement par r´ ecurrence
pour p ≥ 3. Le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
¿º × × ÓÒÒØØÓÒ× R
m
Ò× R
m
¿º½º ÈÖ ÐÐÑÑÒÒÒÖÖ× ÖÖÝÓÒ ×ÔÔÔØÖÖÐ ³ÙÒ ÒÒÓÑÓÖÔÔÔ×ÑÑ
Soit E un espace vectoriel de dimension m sur R et u un endomorphisme de E.