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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Remarque – On v´ erifie facilement que s p ∼
1
√
5
1+
√
5
2
p+1 ; ceci montre que
le nombre de d´ ecimales exactes croˆ ıt environ du facteur
1+
√ 5
2
1, 618 `
a chaque
it´ eration. La convergence est donc tout juste un peu moins rapide que dans le § 2.4.
D´ emonstration.* Le lecteur pourra omettre cette d´ emonstration sans compromettre la compr´ ehension de la suite du chapitre. On consid` ere le taux d’accroissement
τ (x, y) de f sur I × I d´ efini par
τ (x, y) =
f (y)−f (x)
y−x
si y = x
τ (x, y) = f
(x)
siy = x.
Pour tous (x, y) ∈ I × I, on peut ´ ecrire
τ (x, y) =
1
0
f
(x + t(y − x))dt
et le th´ eor` eme de d´ erivation sous le signe somme montre que
∂τ
∂x
(x, y) =
1
0
(1 − t)f
(x + t(y − x))dt,
∂τ
∂y
(x, y) =
1
0
tf
(x + t(y − x))dt.
Comme f
est de signe constant sur I et comme
1
0
(1 − t)dt =
1
2
, on en d´ eduit les
in´ egalit´ es
|τ (x, y)| ≥ m 1 ,
∂τ
∂x
≤
1
2
M 2 ,
∂τ
∂y
≤
1
2
M 2 .
Il en r´ esulte en particulier
|τ (x, y) − f
(x)| = |τ (x, y) − τ (x, x)| =
y
x
∂τ
∂y
(x, t)dt
≤
1
2
M 2 |y − x|.
La suite (x p ) est d´ efinie par la formule de r´ ecurrence x p+1 = ψ(x p , x p−1 ) o` u ψ est
la fonction de classe C
1 telle que
ψ(x, y) = x −
f (x)
τ (x, y)
.
Posons h p = x p − a. On a
h p+1 = ψ(x p , x p−1 ) − a = ψ(a + h p , a + h p−1 ) − ψ(a, a)
et en particulier h 2 = ψ(a + h 1 , a + h 0 ) − ψ(a, a). En int´ egrant sur [0, 1] la d´ eriv´ ee
de la fonction t → ψ(a + th 1 , a + th 0 ), on trouve
h 2 =
1
0
h 1
∂ψ
∂x
(a + th 1 , a + th 0 ) + h 0
∂ψ
∂y
(a + th 1 , a + th 0 )
dt.