c
2
2 þ 2ac 2 À a
2
2 ¼ 0;
ð12Þ
with solutions
c 1 ¼ Àa þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
a 2 þ a 2
1
q
! 0
ð13Þ
and
c 2 ¼ Àa þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
a 2 þ a 2
2
q
! 0;
ð14Þ
respectively. Substituting Eqs. (13) and (14) into Eq. (3) yields
h ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
a 2 þ a 2
1
q
þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
a 2 þ a 2
2
q
ð15Þ
which implies
h
2
À 2a
2
À ða
2
1 þ a
2
2 Þ ¼ 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
a 4 þ a 2 ða 2
1 þ a 2
2 Þ þ a 2
1 a 2
2
q
:
ð16Þ
A further rearrangement of terms leads to the arrival of an expression for the interfocal separation:
2a ¼
1
h
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
h 4 þ ða 2
1 À a 2
2 Þ
2 À 2h 2 ða 2
1 þ a 2
2 Þ
q
¼
1
ðs þ a 1 þ a 2 Þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðs þ a 1 þ a 2 Þ
4 þ ða 2
1 À a 2
2 Þ
2 À 2ðs þ a 1 þ a 2 Þ
2 ða 2
1 þ a 2
2 Þ
q
ð17Þ
which leads to
2a
s
¼
1
sðs þ a 1 þ a 2 Þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðs þ a 1 þ a 2 Þ
4 þ ða 2
1 À a 2
2 Þ
2 À 2ðs þ a 1 þ a 2 Þ
2 ða 2
1 þ a 2
2 Þ
q
¼
1
ð1 þ a 0
1 þ a 0
2 Þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð1 þ a 0
1 þ a 0
2 Þ
4 þ ða 02
1 À a 02
2 Þ
2 À 2ð1 þ a 0
1 þ a 0
2 Þ
2 ða 02
1 þ a 02
2 Þ
q
ð18Þ
where a 1 ′ ≡ a 1 /s and a 2 ′ ≡ a 2 /s are relative measures of the radii of the interacting
spheres with respect to their surface-to-surface separation s. Equation (18) can be
written in the following form
2a
s
¼
1
1 þ
1
a 0
1
þa 0
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1
ða 0
1 þ a 0
2 Þ
2
þ 4 1 þ
1
a 0
2
þ 2a 0
1
1 þ
a 0
1
a 0
2
þ
a 0
1
a 0
2
1 þ
a 0
1
a 0
2
2
2
6
4
3
7
5
v
u
u
u
u
t
ð19Þ
which implies
A General Geometric Representation of Sphere-Sphere Interactions
33
2
2 þ 2ac 2 À a
2
2 ¼ 0;
ð12Þ
with solutions
c 1 ¼ Àa þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
a 2 þ a 2
1
q
! 0
ð13Þ
and
c 2 ¼ Àa þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
a 2 þ a 2
2
q
! 0;
ð14Þ
respectively. Substituting Eqs. (13) and (14) into Eq. (3) yields
h ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
a 2 þ a 2
1
q
þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
a 2 þ a 2
2
q
ð15Þ
which implies
h
2
À 2a
2
À ða
2
1 þ a
2
2 Þ ¼ 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
a 4 þ a 2 ða 2
1 þ a 2
2 Þ þ a 2
1 a 2
2
q
:
ð16Þ
A further rearrangement of terms leads to the arrival of an expression for the interfocal separation:
2a ¼
1
h
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
h 4 þ ða 2
1 À a 2
2 Þ
2 À 2h 2 ða 2
1 þ a 2
2 Þ
q
¼
1
ðs þ a 1 þ a 2 Þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðs þ a 1 þ a 2 Þ
4 þ ða 2
1 À a 2
2 Þ
2 À 2ðs þ a 1 þ a 2 Þ
2 ða 2
1 þ a 2
2 Þ
q
ð17Þ
which leads to
2a
s
¼
1
sðs þ a 1 þ a 2 Þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðs þ a 1 þ a 2 Þ
4 þ ða 2
1 À a 2
2 Þ
2 À 2ðs þ a 1 þ a 2 Þ
2 ða 2
1 þ a 2
2 Þ
q
¼
1
ð1 þ a 0
1 þ a 0
2 Þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð1 þ a 0
1 þ a 0
2 Þ
4 þ ða 02
1 À a 02
2 Þ
2 À 2ð1 þ a 0
1 þ a 0
2 Þ
2 ða 02
1 þ a 02
2 Þ
q
ð18Þ
where a 1 ′ ≡ a 1 /s and a 2 ′ ≡ a 2 /s are relative measures of the radii of the interacting
spheres with respect to their surface-to-surface separation s. Equation (18) can be
written in the following form
2a
s
¼
1
1 þ
1
a 0
1
þa 0
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1
ða 0
1 þ a 0
2 Þ
2
þ 4 1 þ
1
a 0
2
þ 2a 0
1
1 þ
a 0
1
a 0
2
þ
a 0
1
a 0
2
1 þ
a 0
1
a 0
2
2
2
6
4
3
7
5
v
u
u
u
u
t
ð19Þ
which implies
A General Geometric Representation of Sphere-Sphere Interactions
33