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8
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Équations différentielles, méthodes àunpas
✞
☎
>> erreur2
tn =
71 01 52 03 55 0
taberr =
1.0e-005 *
0.2208
0.0513
0.0098
0.0031
0.0003
0.0001
✝
✆
1.5
2
2.5
3
3.5
4
−21
−20
−19
−18
−17
−16
−15
−14
−13
log(n)
log(erreur)
pente de la droite : −4.0532
8.4 Système différentiel
On considèrelesystème différentiel
( S )
y
( t ) = Ay( t ) , t ∈ [0, 1]
y (0) = h
où A =
− 11
0 − 1
, h =
a
b
1. On rappelle que e
At
=
+ ∞
k = 0
( At)
k
k !
,série normalement convergente pour t ∈ [ a , b ]. Montrer
que
de
At
dt
= Ae
At
.Endéduire que l’unique solution de ( S )est yex ( t ) = e
At
h .
2. Calculer A
k
et montrer que la solution exacte vérifie yex ( t ) =
y 1 ( t )
y 2 ( t )
=
( a + b t ) e
− t
b e
− t
.
On souhaite approcher la solution de ( S )par une méthode d’Euler modifiée. Avec les notations
habituelles, h = 1 / n et t j = jh pour j = 0àn .
⎧
⎨
⎩
U 0 = h
U j +1 = U j + hf
t j +
h
2
, U j +
h
2
f ( t j , U j )
, j = 0 ,...,n − 1