Énoncés des exercices
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4. En cherchant une solution particulièresous la forme Y ( x ) = e
xA
l ( x ), montrer que la solution
unique de ( P
)est donnée par
Y ( x ) = e
( x − x 0 ) A
h +
x
x 0
e
( x − t ) A
F ( t ) dt.
L’unique solution de ( P )est alors la première composante de cette fonction vectorielle.
8.3E rreur dans la méthode de Runge-Kutta
On considèreleproblème
y
( t ) = − y ( t ) , t ∈ [0, p ]
y (0) = 0 , y
(0) = 1
dont la solution est donnée par y ( t ) = sin t .
1. Transformer ce problème en un système d’ordre 1enposant Y ( t ) =
y ( t )
y
( t )
.
( P )
Y
( t ) = F ( t , Y ( t )), t ∈ [0, p ]
Y (0) = h
2. Programmation. Écrireunfichier f2.m qui calcule la fonction F .
Test f2(1,[1 2]).
✞
☎
>> f2(1,[1 2])
ans =
2
-1
✝
✆
3. Programmer la méthode de Runge-Kutta (8.5).Oncréera une fonction avec en paramètres
d’entrée fichier le nom du fichier contenant F , n le nombre de subdivisions, eta la condition
initiale et interv un vecteur à2composantes, les 2bornes de l’intervalle d’intégration et en sortie
le tableau des abscisses t et les solutions U .Onpourra utiliser la fonction feval.m de Matlab.
Test [t,U]=RK4(’f2’,5,eta,[0 1])
4. Pour un n donné, calculer err = max
i = 0 ,..., n
| U
1
i − sin ( t i ) | où U
1
i désigne la première composante
de U i .Sauvegardedans erreur1.m.T est avec n = 3.
✞
☎
>> erreur1
n=
3
err =
7.7113e-005
✝
✆
5. É tudier l’erreur quand n varie. On partira du tableau de valeurs tn et on construira un tableau
taberr puis on tracera log( taberr)enfonction de log ( tn). Sauvegarde sous erreur2.m .T estavec
tn = [2, 3 , 5 , 7 , 10, 15, 20, 35, 50]. À l’aide de l’instruction polyfit,oncalculera la pente de la
droite de régression pour conclure àl’ordre de la méthode.
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit
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4. En cherchant une solution particulièresous la forme Y ( x ) = e
xA
l ( x ), montrer que la solution
unique de ( P
)est donnée par
Y ( x ) = e
( x − x 0 ) A
h +
x
x 0
e
( x − t ) A
F ( t ) dt.
L’unique solution de ( P )est alors la première composante de cette fonction vectorielle.
8.3E rreur dans la méthode de Runge-Kutta
On considèreleproblème
y
( t ) = − y ( t ) , t ∈ [0, p ]
y (0) = 0 , y
(0) = 1
dont la solution est donnée par y ( t ) = sin t .
1. Transformer ce problème en un système d’ordre 1enposant Y ( t ) =
y ( t )
y
( t )
.
( P )
Y
( t ) = F ( t , Y ( t )), t ∈ [0, p ]
Y (0) = h
2. Programmation. Écrireunfichier f2.m qui calcule la fonction F .
Test f2(1,[1 2]).
✞
☎
>> f2(1,[1 2])
ans =
2
-1
✝
✆
3. Programmer la méthode de Runge-Kutta (8.5).Oncréera une fonction avec en paramètres
d’entrée fichier le nom du fichier contenant F , n le nombre de subdivisions, eta la condition
initiale et interv un vecteur à2composantes, les 2bornes de l’intervalle d’intégration et en sortie
le tableau des abscisses t et les solutions U .Onpourra utiliser la fonction feval.m de Matlab.
Test [t,U]=RK4(’f2’,5,eta,[0 1])
4. Pour un n donné, calculer err = max
i = 0 ,..., n
| U
1
i − sin ( t i ) | où U
1
i désigne la première composante
de U i .Sauvegardedans erreur1.m.T est avec n = 3.
✞
☎
>> erreur1
n=
3
err =
7.7113e-005
✝
✆
5. É tudier l’erreur quand n varie. On partira du tableau de valeurs tn et on construira un tableau
taberr puis on tracera log( taberr)enfonction de log ( tn). Sauvegarde sous erreur2.m .T estavec
tn = [2, 3 , 5 , 7 , 10, 15, 20, 35, 50]. À l’aide de l’instruction polyfit,oncalculera la pente de la
droite de régression pour conclure àl’ordre de la méthode.
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit