110
8
•
Équations différentielles, méthodes àunpas
✞
☎
>> RK2
n=
100
errmax =
0.0100
✝
✆
On constate le même phénomène que pour la méthode d’Euler.
9. Appeler une méthode de résolution approchée de Matlab avec une condition initiale u 0 =
1 / 3+0. 01. Déterminer l’erreur max i = 0 ,..., n | u
´
i − y
0
( t i ) | ainsi que le nombre de composantes du
vecteur t .O np ourra aussi examiner les variations du pas de temps t i +1 − t i .S auvegarde dans
resol1.m.
8.2 Équation linéairedusecond ordre
a et b étant 2r éels, f une fonction continue sur un intervalle contenant x 0 ,o nc onsidère le
problème
( P ):
y
( x )+ay
( x )+by( x ) = f ( x ) ,
y ( x 0 ) = a , y
( x 0 ) = b
1. En posant Y ( x ) =
y ( x )
y
( x )
,montrer que ( P )peut s’écrire
( P
):
Y
( x ) = AY ( x )+F ( x )
Y ( x 0 ) = h
où A est une matrice 2 × 2, h =
a
b
et F une fonction àvaleurs dans R
2
.
2. Pour M ∈ R
n × n
,ondéfinit la matrice e
xM
=
+ ∞
k = 0
x
k
M
k
k !
,série normalement convergente sur
un intervalle borné.
(a)Q ue se passe-t-il si M est diagonalisable ( M = PDP
− 1
avec D diagonale) ?
(b) Dans le cas général, montrer que
de
xM
dx
= Me
xM
= e
xM
M ,
e
( x + x
) M
= e
xM
× e
x
M
,
( e
xM
)
− 1
= e
− xM
3. On revient au problème(P
). Montrer que les solutions de Y
( x ) = AY ( x )sont de la forme
Y ( x ) = e
xA
l où l ∈ R
2
.
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Équations différentielles, méthodes àunpas
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☎
>> RK2
n=
100
errmax =
0.0100
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✆
On constate le même phénomène que pour la méthode d’Euler.
9. Appeler une méthode de résolution approchée de Matlab avec une condition initiale u 0 =
1 / 3+0. 01. Déterminer l’erreur max i = 0 ,..., n | u
´
i − y
0
( t i ) | ainsi que le nombre de composantes du
vecteur t .O np ourra aussi examiner les variations du pas de temps t i +1 − t i .S auvegarde dans
resol1.m.
8.2 Équation linéairedusecond ordre
a et b étant 2r éels, f une fonction continue sur un intervalle contenant x 0 ,o nc onsidère le
problème
( P ):
y
( x )+ay
( x )+by( x ) = f ( x ) ,
y ( x 0 ) = a , y
( x 0 ) = b
1. En posant Y ( x ) =
y ( x )
y
( x )
,montrer que ( P )peut s’écrire
( P
):
Y
( x ) = AY ( x )+F ( x )
Y ( x 0 ) = h
où A est une matrice 2 × 2, h =
a
b
et F une fonction àvaleurs dans R
2
.
2. Pour M ∈ R
n × n
,ondéfinit la matrice e
xM
=
+ ∞
k = 0
x
k
M
k
k !
,série normalement convergente sur
un intervalle borné.
(a)Q ue se passe-t-il si M est diagonalisable ( M = PDP
− 1
avec D diagonale) ?
(b) Dans le cas général, montrer que
de
xM
dx
= Me
xM
= e
xM
M ,
e
( x + x
) M
= e
xM
× e
x
M
,
( e
xM
)
− 1
= e
− xM
3. On revient au problème(P
). Montrer que les solutions de Y
( x ) = AY ( x )sont de la forme
Y ( x ) = e
xA
l où l ∈ R
2
.