Énoncés des exercices
109
Le deuxième exercice montre comment se ramener d’une équation du second ordre àunsystème
du premierordre puis donne la solution exacte (mais formelle) d’une équation linéaire de ce type
avec conditions initiales. Lesdeux exercices suivants utilisent Matlab pour une détermination
numérique de l’erreur pour deux schémas. Enfin dans la méthode de tir,n ous retrouvons une
équation du second ordre avec deuxc onditions aux bords que nous étudierons aussi dans le
chapitre 10.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
8.1 Conditions initiales et pas
Ce premier exemple est extrait du livre de Crouzeix et Mignot [6].
On considère le problème
y
( t ) = − 150y ( t )+49 − 150t , t ∈ [0, 1]
y (0) = 1 / 3+´
1. Déterminer la solution exacte du problème y
´
.
2. ´ désigne l’erreur faite sur la condition initiale. Montrer que y
0
− y
´
∞ ´ . Il n’y adonc
pasd’amplification de l’erreur initiale.
3. Soit h > 0. Pour t et t + h dans [0, 1], montrer que
y
0
( t + h ) = y
0
( t )+h ( − 150y
0
( t )+49 − 150t ).
4. Soient n ∈ N avec n = 0, h =
1
n
et t i = ih, i = 0 ,...,n .O nd étermine une solution
approchée u
´
i de y
´
( t i )par la méthode d’Euler (8.3). Montrer que
u
´
i +1 − y
0
( t i +1 ) = (1 − 150h )(u
´
i − y
0
( t i )) puis que u
´
i − y
0
( t i ) = (1 − 150h )
i
´ pour i = 0 ,...,n .
5. On prend n = 50 et ´ = 0 . 01. Calculer l’erreur u
´
n − y
0
(1).
6. Donner unecondition sur n pour que max
i = 0 ,..., n
| u
´
i − y
0
( t i ) | ´ .
7. Programmation. Dans Matlab,c réer un fichier f1.m contenant la fonction définie par
f 1(t , y ) = − 150y +49 − 150t .
8. Programmer la méthode de Heun (8.4) puis évaluer l’erreur max
i = 0 ,..., n
| u
´
i − y
0
( t i ) | .Sauvegarde
dans RK2.m.T est avec n = 60 puis n = 100 et ´ = 0 . 01.
✞
☎
>> RK2
n=
60
errmax =
4.4792e+010
✝
✆
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit
109
Le deuxième exercice montre comment se ramener d’une équation du second ordre àunsystème
du premierordre puis donne la solution exacte (mais formelle) d’une équation linéaire de ce type
avec conditions initiales. Lesdeux exercices suivants utilisent Matlab pour une détermination
numérique de l’erreur pour deux schémas. Enfin dans la méthode de tir,n ous retrouvons une
équation du second ordre avec deuxc onditions aux bords que nous étudierons aussi dans le
chapitre 10.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
8.1 Conditions initiales et pas
Ce premier exemple est extrait du livre de Crouzeix et Mignot [6].
On considère le problème
y
( t ) = − 150y ( t )+49 − 150t , t ∈ [0, 1]
y (0) = 1 / 3+´
1. Déterminer la solution exacte du problème y
´
.
2. ´ désigne l’erreur faite sur la condition initiale. Montrer que y
0
− y
´
∞ ´ . Il n’y adonc
pasd’amplification de l’erreur initiale.
3. Soit h > 0. Pour t et t + h dans [0, 1], montrer que
y
0
( t + h ) = y
0
( t )+h ( − 150y
0
( t )+49 − 150t ).
4. Soient n ∈ N avec n = 0, h =
1
n
et t i = ih, i = 0 ,...,n .O nd étermine une solution
approchée u
´
i de y
´
( t i )par la méthode d’Euler (8.3). Montrer que
u
´
i +1 − y
0
( t i +1 ) = (1 − 150h )(u
´
i − y
0
( t i )) puis que u
´
i − y
0
( t i ) = (1 − 150h )
i
´ pour i = 0 ,...,n .
5. On prend n = 50 et ´ = 0 . 01. Calculer l’erreur u
´
n − y
0
(1).
6. Donner unecondition sur n pour que max
i = 0 ,..., n
| u
´
i − y
0
( t i ) | ´ .
7. Programmation. Dans Matlab,c réer un fichier f1.m contenant la fonction définie par
f 1(t , y ) = − 150y +49 − 150t .
8. Programmer la méthode de Heun (8.4) puis évaluer l’erreur max
i = 0 ,..., n
| u
´
i − y
0
( t i ) | .Sauvegarde
dans RK2.m.T est avec n = 60 puis n = 100 et ´ = 0 . 01.
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☎
>> RK2
n=
60
errmax =
4.4792e+010
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Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit