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Équations différentielles, méthodes àunpas
La méthode est consistante si ´ ( y )t end vers 0q uand H tend vers 0. Si la méthodee st stable
et consistante alorse lle est convergente i.e lorsque u 0 tend vers h et H tend vers 0 ,a lors
max y ( t i ) − u i tend vers0.
Le schéma numérique est d’ordre p > 0s’il existe un réel K (ne dépendant que de y et de f )
tel que ´ ( y ) KH
p
dès que y est une solution de classe C
p +1
de (8.1) . Soit y la solution de
(8.1)- (8.2).Sileschéma numérique est stable et d’ordrep ,sif∈C
p
( I × R
m
, R
m
) alors
∀ i = 0 ,...,n , y ( t i ) − u i e
L T
h − u 0 + KH
p
.
Rappelons trois schémas numériques :l am éthode d’Euler explicite, la méthode de Heun (ou
schéma de Runge-Kutta d’ordre 2) et la méthode de Runge-Kutta classique, d’ordre 4.
Méthode d’Euler : f ( t , y , h ) = f ( t , y ),
u 0 = h
u i +1 = u i + hf( t i , u i ) , i = 0 ,...,n − 1
(8.3)
Méthode de Heun : f ( t , y , h ) =
1
2
( f ( t , y )+ f ( t + h , y + hf( t , y ) ) .
u 0 = h
u i +1 = u i +
h
2
( f ( t i , u i )+ f ( t i +1 , u i + h i f ( t i , u i ))) , i = 0 ,...,n − 1
(8.4)
Méthode de Runge-Kutta :
⎧
⎨
⎩
u 0 = h
u i +1 = u i +
h i
6
f ( t i , u i , 1 )+2f ( t i +
h i
2
, u i , 2 )+2f ( t i +
h i
2
, u i , 3 )+ f ( t i +1 , u i , 4 )
,
(8.5)
i = 0 ,...,n − 1
où
u i , 1 = u i , u i , 2 = u i +
h i
2
f ( t i , u i , 1 ) , u i , 3 = u i +
h i
2
f
t i +
h i
2
, u i , 2
, u i , 4
= u i + h i f
t i +
h i
2
, u i , 3
.
Les instructions Matlab habituelles pour les équations différentielles ou les systèmes du premier
ordre sont ode23, ode45, ode 113....Elles sont construites surdes méthodes àpas variables.
Plutôt que de reprendre une partie des démonstrations, nous avons commencé directement par un
exercice mettant en évidence l’importance du choix du pas. Parcontre, au chapitre suivant, on
retrouvera les outils utilisés :stabilité, erreur de consistance, ordre... avec des démonstrations.