8
Équations différentielles,
méthodes àunpas
RAPPEL DE COURS
Soit I = [ t 0 , t 0 + T ]unintervalle fermé borné de R .Onsedonne une fonction f définie et continue
sur I × R
m
àvaleurs dans R
m
.Pour h ∈ R
m
,condition initiale, on cherche une fonction y définie
et dérivable sur I àvaleurs dans R
m
telle que
y
( t ) = f ( t , y ( t )), ∀ t ∈ I
(8.1)
y ( t 0 ) = h .
(8.2)
Il s’agitd’un système différentiel du premier ordre.
S’il existe un réel Le tune norme sur R
m
tels que
∀ t ∈ I , ∀ y , z ∈ R
m
, f ( t , y ) − f ( t , z ) L y − z , (Condition de Lipschitz)
alorsleproblème (8.1)- (8.2) admet une solution unique.
Schémas numériques : À partir d’une subdivision t 0 < t 1 <. .. < t n = t 0 + T ,o np ose
h i = t i +1 − t i , H = max h i .Pour une fonction f continue de I × R
m
× R àvaleurs dans R
m
nous
construisons la suite finie u 0 ∈ R
m
,etpour i = 0 ,...,n − 1, u i +1 = u i + h i f ( t i , u i , h i ).
Nousc onstruisons aussi des suites «perturbées »:v 0 ∈ R
m
, v i +1 = v i + h i f ( t i , v i , h i )+´ i .
Le schéma est stable s’il existe une constante c indépendante des suites ( u i ), ( v i )t elle que :
max
i = 0 ,..., n
| u i − v i | C
⎛
⎝ | u 0 − v 0 | +
n
j = 0
| ´ j |
⎞
⎠ . Le schéma est stable si et seulement si il existe
L > 0 tel que : ∀ t ∈ I , ∀ u , v ∈ R
m
, ∀ h ∈ [0, H ] , f ( t , u , h ) − f ( t , v , h ) L y − z .
Si y est une solution de (8.1), l’erreur de consistance estdéfinie par
´ ( y ) =
n − 1
i = 0
y ( t i +1 ) − y ( t i ) − h i f ( t i , y ( t i ) , h i ) .
Équations différentielles,
méthodes àunpas
RAPPEL DE COURS
Soit I = [ t 0 , t 0 + T ]unintervalle fermé borné de R .Onsedonne une fonction f définie et continue
sur I × R
m
àvaleurs dans R
m
.Pour h ∈ R
m
,condition initiale, on cherche une fonction y définie
et dérivable sur I àvaleurs dans R
m
telle que
y
( t ) = f ( t , y ( t )), ∀ t ∈ I
(8.1)
y ( t 0 ) = h .
(8.2)
Il s’agitd’un système différentiel du premier ordre.
S’il existe un réel Le tune norme sur R
m
tels que
∀ t ∈ I , ∀ y , z ∈ R
m
, f ( t , y ) − f ( t , z ) L y − z , (Condition de Lipschitz)
alorsleproblème (8.1)- (8.2) admet une solution unique.
Schémas numériques : À partir d’une subdivision t 0 < t 1 <. .. < t n = t 0 + T ,o np ose
h i = t i +1 − t i , H = max h i .Pour une fonction f continue de I × R
m
× R àvaleurs dans R
m
nous
construisons la suite finie u 0 ∈ R
m
,etpour i = 0 ,...,n − 1, u i +1 = u i + h i f ( t i , u i , h i ).
Nousc onstruisons aussi des suites «perturbées »:v 0 ∈ R
m
, v i +1 = v i + h i f ( t i , v i , h i )+´ i .
Le schéma est stable s’il existe une constante c indépendante des suites ( u i ), ( v i )t elle que :
max
i = 0 ,..., n
| u i − v i | C
⎛
⎝ | u 0 − v 0 | +
n
j = 0
| ´ j |
⎞
⎠ . Le schéma est stable si et seulement si il existe
L > 0 tel que : ∀ t ∈ I , ∀ u , v ∈ R
m
, ∀ h ∈ [0, H ] , f ( t , u , h ) − f ( t , v , h ) L y − z .
Si y est une solution de (8.1), l’erreur de consistance estdéfinie par
´ ( y ) =
n − 1
i = 0
y ( t i +1 ) − y ( t i ) − h i f ( t i , y ( t i ) , h i ) .