Énoncés des exercices
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où a =
⎛
⎜
⎝
a M
. . .
a 0
⎞
⎟
⎠ désigne le vecteur des coefficients de p .Onvérifie que p ( x i ) = e
T
M +1 × a où
e M +1 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0
. . .
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Pour résoudre le problème, a est déterminé en minimisant l’écart
J ( a ) =
i + N R
j = i − N L
( p ( x j ) − f j )
2
, p ∈ P M .
1. Montrer que le vecteur
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
p ( x i − N L )
. . .
p ( x i )
. . .
p ( x i + N R )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
s’écrit sous la forme A a où A est une matrice de
R
( N L + N R +1)× ( M +1)
àpréciser.
2. Si F i = ( f i − N L ,..., f i ,..., f i + N R )
T
,montrer que J ( a ) = A a − F i
2
2 .
3. En déduire un système linéaire carré vérifiépar ¯a minimisant J ( a ).
4. En déduire ¯a .
5. Construire g i = p i ( x i )enfonction de e M +1 , A et F i .
6. En déduire une expression de g i sous la forme C
T
× F i .
7. C dépend-il de i ?
8. Programmation : Construire la fonction signal1.m échantillonnant la fonction
F ( x ) =
1
1+100(x − 0 . 2) 2 +
1
1+500(x − 0 . 4) 2 )
+
1
1+1000(x − 0 . 6) 2 +
1
1+10000(x − 0 . 8) 2
en n points équidistants sur [0, 1]. Test avec n = 6sortie de x et y ,abscisses et ordonnées.
✞
☎
>> [x,y]=signal1(6)
x=
00 .2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
y=
0.2153
1.0541
1.2250
1.1089
1.0638
0.0296
✝
✆
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit