Corrigés desexercices
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Si t 1 = t 2 ,alors par (1) et (2), t 1 = 0cequi est impossible. Reste le cas t 1 = − t 2 .Par (1) et (2),il
vient a 1 = a 2 = 1. (4) estainsi vérifiée. (3) donne t 1 = − t 2 = ± 1 /
√
3 .Onretrouvelaméthode
de Gauss-Legendre, seule quadrature élémentaire à2points d’ordre 3.
3. Majoration et erreur réelle
Pour la méthodedes trapèzes composée àpas constant, l’erreur E ( f )est majorée par
( b − a )
3
12n 2 M 2 .
Si f ( x ) = x
4
sur [0, 1], M 2 = 12 et ( b − a )
3
= 1. Donc il suffit que n 10
5
,pour avoir une
précisionde10
− 10
dans l’approximationde
1
0
t
4
dt.Ils’agit d’une condition suffisante. À l’aide
de Matlab,onpeut montrer que n 57736 suffit.Ilreste tout de même 57737 évaluations de la
fonction f .
✞
☎
>> format long
>> trap(0,1,57736)-1/5
ans =
9.999667760496322e-011
>> trap(0,1,57735)-1/5
ans =
1.000005633855494e-010
✝
✆
On reprend le raisonnement pour la méthode de Simpson. M 4 = 24 et ( b − a ) = 1;or E ( f )
M
4
( b − a )
5
180n 4
donc E ( f ) 10
− 10
dès que
2 . 10
10
15
1 / 4
,soit n 192 ou encore 385 évaluations
de la fonction f .
5.2 Méthode des trapèzes
Pour évaluerl’erreur e ,onpartde
b
a
f ( t ) dt qu’on intègre par parties et on utilise
b
a
f
a + b
2
t −
a + b
2
dt = 0.
b
a
f ( t ) dt =
f ( t )
t −
a + b
2
b
a
−
b
a
f
( t )
t −
a + b
2
dt
=
f ( a )+ f ( b )
2
( b − a ) −
b
a
f
( t )
t −
a + b
2
dt
+
b
a
f
a + b
2
t −
a + b
2
dt
=
f ( a )+ f ( b )
2
( b − a )+
b
a
f
a + b
2
− f
( t )
t −
a + b
2
dt
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit