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Valeurs approchées d’intégrales
CORRIGÉS DES EXERCICES
5.1 Premiers calculs
1. Interpolationetintégration
Si p est l’interpolant de Lagrange de f en les t j ,a lors p ( t ) =
M
j = 1
j ( t ) f ( t j )o ù j ( t ) =
M
k = 1
k = j
x − x k
x j − x k
.Donc par linéarité,
1
− 1
p ( t ) dt =
M
j = 1
f ( t j )
1
− 1
j ( t ) dt =
M
j = 1
a j f ( t j ).
Si q ∈ P M − 1 alors, par unicité, son interpolant de Lagrange aux point t j coïncide avec lui même.
Donc
1
− 1
q ( t ) dt = J ( q ). La méthode est d’ordre au moins M − 1.
À l’exercice 4.2, nous avons vu que si f ∈C
M
([− 1 , 1]), et si p désigne son interpolant de Lagrange
aux points t j alors pour tout t de [ − 1 , 1],ilexiste j ∈ ] − 1 , 1[ tel que f ( t ) − p ( t ) =
f
( M )
( j )
M !
P M ( t )
avec P M ( t ) =
M
j = 1
( t − t j ). En majorant | f
( M )
( j ) | par max
t ∈ [ − 1 , 1]
| f
( M )
( t ) | puis en intégrant entre − 1
et 1, il vient E ( f ) =
1
− 1
f ( t ) dt − J ( f )
max
t ∈ [ − 1 , 1]
| f
( M )
( t ) |
M !
1
− 1
| P M ( t ) | dt.
2. Ordremaximum
Soit J ( f ) = a 1 f ( t 1 )+a 2 f ( t 2 )une quadrature élémentaire. Pour qu’elle soit d’ordre 3, elle doit
être exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à3.Par linéarité de l’intégrale et de
la quadrature,ilfaut et suffit qu’elle soit exacte pour une base de P 3 .Enprenant par exemplela
base canonique, il vient :
(1)
a 1 + a 2 = 2 ,
(2) a 1 t 1 + a 2 t 2 = 0 ,
(3) a 1 t
2
1 + a 2 t
2
2 = 2 / 3 ,
(4) a 1 t
3
1 + a 2 t
3
2 = 0 ,
Si a 1 = 0alors a 2 = 2par (1)et t 2 = 0par (2) ce qui n’est pas compatible (3). Si t 1 = 0alors (3)
et (4) conduisent àune impossibilité. Donc a 1 = 0et t 1 = 0. De même a 2 = 0et t 2 = 0.
Si t 1 = ± 1, par différence de (2) et (4), on obtient a 2 t 2 (1 − t 2 )
2
= 0donc t 2 = ± 1. Mais alors (1)
et (3) sont incompatibles. Donc t 1 , t 2 /∈{− 1 , 1 } .
On effectue la différence (2)moins (4)pour obtenir a 1 t 1 (1 − t
2
1 )+a 2 t 2 (1 − t
2
2 ) = 0ouencore
a 2 t 2 (1 − t
2
2 )
a 1 t 1 (1 − t 2
1 )
= − 1. Sachant que par (2),
a 2 t 2
a 1 t 1
= − 1, il vient
(1 − t
2
2 )
(1 − t 2
1 )
= 1soit t
2
1 = t
2
2 .
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Valeurs approchées d’intégrales
CORRIGÉS DES EXERCICES
5.1 Premiers calculs
1. Interpolationetintégration
Si p est l’interpolant de Lagrange de f en les t j ,a lors p ( t ) =
M
j = 1
j ( t ) f ( t j )o ù j ( t ) =
M
k = 1
k = j
x − x k
x j − x k
.Donc par linéarité,
1
− 1
p ( t ) dt =
M
j = 1
f ( t j )
1
− 1
j ( t ) dt =
M
j = 1
a j f ( t j ).
Si q ∈ P M − 1 alors, par unicité, son interpolant de Lagrange aux point t j coïncide avec lui même.
Donc
1
− 1
q ( t ) dt = J ( q ). La méthode est d’ordre au moins M − 1.
À l’exercice 4.2, nous avons vu que si f ∈C
M
([− 1 , 1]), et si p désigne son interpolant de Lagrange
aux points t j alors pour tout t de [ − 1 , 1],ilexiste j ∈ ] − 1 , 1[ tel que f ( t ) − p ( t ) =
f
( M )
( j )
M !
P M ( t )
avec P M ( t ) =
M
j = 1
( t − t j ). En majorant | f
( M )
( j ) | par max
t ∈ [ − 1 , 1]
| f
( M )
( t ) | puis en intégrant entre − 1
et 1, il vient E ( f ) =
1
− 1
f ( t ) dt − J ( f )
max
t ∈ [ − 1 , 1]
| f
( M )
( t ) |
M !
1
− 1
| P M ( t ) | dt.
2. Ordremaximum
Soit J ( f ) = a 1 f ( t 1 )+a 2 f ( t 2 )une quadrature élémentaire. Pour qu’elle soit d’ordre 3, elle doit
être exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à3.Par linéarité de l’intégrale et de
la quadrature,ilfaut et suffit qu’elle soit exacte pour une base de P 3 .Enprenant par exemplela
base canonique, il vient :
(1)
a 1 + a 2 = 2 ,
(2) a 1 t 1 + a 2 t 2 = 0 ,
(3) a 1 t
2
1 + a 2 t
2
2 = 2 / 3 ,
(4) a 1 t
3
1 + a 2 t
3
2 = 0 ,
Si a 1 = 0alors a 2 = 2par (1)et t 2 = 0par (2) ce qui n’est pas compatible (3). Si t 1 = 0alors (3)
et (4) conduisent àune impossibilité. Donc a 1 = 0et t 1 = 0. De même a 2 = 0et t 2 = 0.
Si t 1 = ± 1, par différence de (2) et (4), on obtient a 2 t 2 (1 − t 2 )
2
= 0donc t 2 = ± 1. Mais alors (1)
et (3) sont incompatibles. Donc t 1 , t 2 /∈{− 1 , 1 } .
On effectue la différence (2)moins (4)pour obtenir a 1 t 1 (1 − t
2
1 )+a 2 t 2 (1 − t
2
2 ) = 0ouencore
a 2 t 2 (1 − t
2
2 )
a 1 t 1 (1 − t 2
1 )
= − 1. Sachant que par (2),
a 2 t 2
a 1 t 1
= − 1, il vient
(1 − t
2
2 )
(1 − t 2
1 )
= 1soit t
2
1 = t
2
2 .