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5
•
Valeurs approchées d’intégrales
D’où | I − i |
b
a
f
a + b
2
− f
( t )
.
t −
a + b
2
dt.Puisque f ∈C
2
[ a , b ],
f
a + b
2
− f
( t )
M 2
a + b
2
− t
par le théorème des accroissements finis. Alors
| I − i |
b
a
M 2
t −
a + b
2
2
dt et en intégrant, e
M 2
12
( b − a )
3
.Onpeut proposer une autre
démonstration en utilisant l’interpolationdeLagrange et le résultat d’erreur (4.1).
La formule composée s’obtient en additionnant les approximations successivesde
x k +1
x k
f ( t ) dt,
soit
f ( x k )+ f ( x k +1 )
2
h pour k = 0 ,...,n − 1. D’où la nouvelle formule d’approximation
I ( h ) =
h
2
f ( x 0 )+ f ( x n )+2
n − 1
k = 1
f ( x k )
.
L’erreur globale, quant àelle, se majore par la somme des erreurs sur chaque intervalle [ x k , x k +1 ].
Sachantque sup [ x k , x k +1 ] | f
( t ) | sup [ a , b ] | f
( t ) | = M 2 ,ilvient
E ( h ) = | I − I ( h ) | n
M 2
12
h
3
=
M 2 ( b − a )
3
12
.
1
n 2 .
On peut montrer que la majoration en 1 / n
2
est optimale àl’aide d’un polynôme du second degré.
On le verra aussi numériquement àl’aide de l’étude d’erreur ci-dessous.
f.m
✞
☎
function y=f(x);
y=exp(x);
✝
✆
trap.m
✞
☎
function Ih=trap(a,b,N)
h=(b-a)/N;
x=a:h:b;
y=f(x);
Ih=h*(y(1)+y(N+1)+2*sum(y(2:N)))/2;
✝
✆
traperreur.m
✞
☎
a=0;b=1;
tabN=[1,2,5,7,10,15,20,35,50,75,100];
Iex= exp(1)-1;
for i=1:length(tabN)
taberr(i)=abs(trap(a,b,tabN(i))-Iex);
end;