Corrigés desexercices
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x i ,ilvient l i = 0pour i = 1 ,...,n +1.Maintenant il est aussi clair que y i =
n +1
k = 1
y k k ( x i )donc
p défini par p ( x ) =
n +1
k = 1
y k k ( x )est de degré n et réalise l’interpolation. L’unicité est obtenue
puisque le système { 1 ,...,, n +1 } est une base.
2. p k − p k − 1 est un polynôme de degré inférieur ou égal à k qui s’annule en chacun des x i pour
i = 1 ,..., k .Onadonc p k ( x ) − p k − 1 ( x ) = a k
k
i = 1
( x − x i ). Le coefficient a k est celui de x
k
.Or
p k − 1 est de degré strictement inférieur à k .Donc a k ne peut être que le coefficient de x
k
dans p k .
On note a k = [ y 1 ,...,y k +1 ]. Si bien que
p k ( x ) − p k − 1 ( x ) = [ y 1 ,...,y k +1 ]
k
i = 1
( x − x i )( 4.4)
Soit q k − 1 le polynôme interpolant les points ( x i , y i ) , i = 2 ,...,k +1; q k − 1 est un polynôme de
degréinférieur ou égal à k − 1etlecoefficient de x
k − 1
est noté [ y 2 ,...,y k +1 ]. Parailleurs, de
même que précédemment,
p k ( x ) − q k − 1 ( x ) = [ y 1 ,...,y k +1 ]
k +1
i = 2
( x − x i ) .
(4.5)
La différence q k − 1 − p k − 1 est donc un polynôme de degré inférieur ou égal à k − 1etlecoefficient
de x
k − 1
est [ y 2 ,...,y k +1 ] − [ y 1 ,...,y k ]. Parailleurs en effectuant la différence entre (4.4) et (4.5),
on obtient
q k − 1 ( x ) − p k − 1 ( x ) = [ y 1 ,...,y k +1 ]
k
i = 2
( x − x i )
( x − x k +1 ) − ( x − x 1 )
= [ y 1 ,...,y k +1 ]
k
i = 2
( x − x i )(x 1 − x k +1 ) .
En comparant les coefficients de x
k − 1
dans les 2cas, il vient
[ y 2 ,...,y k +1 ] − [ y 1 ,...,y k ] = [ y 1 ,...,y k +1 ](x 1 − x k +1 ) .
Parrécurrence, àpartir de (4.4), on obtient
p n ( x ) = [ y 1 ]+
n
k = 1
[ y 1 ,..., y k +1 ](x − x 1 ) ...( x − x k ) .
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit