42
4
•
Interpolation polynômiale
4. L’interpolant d’Hermite des 4données f (0), f
(0), f
(1), f (1) est donné par p = f (0)H
3
0 +
f
(0)H
3
1 + f
(1)H
3
2 + f (1)H
3
3 puisqu’il est unique et que ce dernier répond àlaquestion.
5. En développant les polynômes, on obtient
⎛
⎜
⎜
⎝
B
3
0 ( t )
B
3
1 t )
B
3
2 ( t )
B
3
3 ( t )
⎞
⎟
⎟
⎠ = A
⎛
⎜
⎜
⎝
1
t
t
2
t
3
⎞
⎟
⎟
⎠ et
⎛
⎜
⎜
⎝
H
3
0 ( t )
H
3
1 t )
H
3
2 ( t )
H
3
3 ( t )
⎞
⎟
⎟
⎠ = B
⎛
⎜
⎜
⎝
1
t
t
2
t
3
⎞
⎟
⎟
⎠
où A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 − 33 − 1
03 − 63
003 − 3
0001
⎞
⎟
⎟
⎠ et B =
⎛
⎜
⎜
⎝
10− 32
01− 21
00− 11
00
3 − 2
⎞
⎟
⎟
⎠ .
6. Donc
⎛
⎜
⎜
⎝
H
3
0 ( t )
H
3
1 t )
H
3
2 ( t )
H
3
3 ( t )
⎞
⎟
⎟
⎠ = BA
− 1
⎛
⎜
⎜
⎝
B
3
0 ( t )
B
3
1 t )
B
3
2 ( t )
B
3
3 ( t )
⎞
⎟
⎟
⎠ . A est triangulaire et A
− 1
peut se déterminer en commençant par la dernière ligne : A
− 1
=
⎛
⎜
⎜
⎝
11
11
01 / 32 / 31
001 / 31
00
01
⎞
⎟
⎟
⎠ et BA
− 1
=
⎛
⎜
⎜
⎝
11
00
01 / 300
00− 1 / 30
00
11
⎞
⎟
⎟
⎠ .
7. p = f (0)H
3
0 + f
(0)H
3
1 + f
(1)H
3
2 + f (1)H
3
3 .Enécrivant les H
3
i dans la base de Bernstein,
il vient p = f (0)B
3
0 +(f (0) + f
(0)/ 3)B
3
1 +(f (1) − f
(1)/ 3)B
3
2 + f (1)B
3
3 .
8. bases.m
✞
☎
t=0:1/500:1;
B0=(1-t).^3; B1=3*t.*(1-t).^2;
B2=3*t.^2.*(1-t); B3=t.^3;
subplot(1,2,1)
plot(t,B0,t,B1,t,B2,t,B3)
title(’basedeeBernstein’,’Fontsize’,18)
H0=(t-1).^2.*(1+2*t); H1=t.*(1-t).^2;
H2=(t-1).*t.^2; H3=t.^2.*(3-2*t);
subplot(1,2,2)
plot(t,H0,t,H1,t,H2,t,H3)
title(’based’’Hermite’,’Fontsize’,18)
✝
✆
4.2 Interpolation de Lagrange
1. Le système { 1 ,...,, n +1 } contient n +1éléments dans l’espace des polynômes P n = R n [ X ]
qui est de dimension n +1.Pour montrer que ce système forme une base, il suffit de montrer qu’il
est libre. Nous avons k ( x i ) = d ik =
1s i i = k
0s i i = k
.Donc si
n +1
k = 1
l k k = 0, en prenant la valeur