Corrigés desexercices
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2. 0ou1sont racines éventuellement multiples.
4. On peut utiliser la base précédente.
4.2 Interpolation de Lagrange
1. Montrerque ces fonctions forment un système libre.
2. Utiliser la base précédente.
4. Le théorème de Rolle peut être utile.
4.3 Dérivation approchée
2. On peut commencerpar construire la matrice Q 1telle que Q 1 ij = x i − x j ,puis lui ajouter
la matrice identité.
4.4 Splines cubiques
1. On peut faire un calcul direct ou s’inspirer de l’exercice 4.1.
4. (a)Pour déterminer les équations liant les dérivées premières, écrire que les dérivées secondes
àgauche et àdroite en les x i coïncident.
(c) Écrire l x i =
k
j = 1
m ij x j en choisissant un indice i tel que | x i | = max | x j | .
CORRIGÉS DES EXERCICES
4.1C hangement de base
1. Puisque { B
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 a4éléments et que P 3 est de dimension 4, il suffit de montrerque le
système est libre pour conclure qu’il forme une base. Si
3
i = 0
l i B
3
i = O ,alors en t = 0, il vient
l 0 = 0. De même en t = 1, l 3 = 0. En dérivant
2
i = 1
l i B
3
i = O puis en prenant ànouveau t = 0
puis t = 1, nous trouvons l 1 = l 2 = 0.
2. H
3
0 est un polynôme de degré 3tel que H
3
0 (0) = 1 , ( H
3
0 )
(0) = 0 , ( H
3
0 )
(1) = 0 , H
3
0 (1) = 0.
Donc 1est racine double si bien que H
3
0 ( t ) = (1− t )
2
( at + b ). Les 2conditions restantes permettent
de déterminer a et b et finalement H
3
0 ( t ) = (1 − t )
2
(2t +1 ). De même H
3
1 ( t ) = t (1 − t )
2
,
H
3
2 ( t ) = t
2
( t − 1) et H
3
3 ( t ) = t
2
(3 − 2 t ).
3. De même quedans la question 1, on montre que { H
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 forme une base de P 3 .
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit
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2. 0ou1sont racines éventuellement multiples.
4. On peut utiliser la base précédente.
4.2 Interpolation de Lagrange
1. Montrerque ces fonctions forment un système libre.
2. Utiliser la base précédente.
4. Le théorème de Rolle peut être utile.
4.3 Dérivation approchée
2. On peut commencerpar construire la matrice Q 1telle que Q 1 ij = x i − x j ,puis lui ajouter
la matrice identité.
4.4 Splines cubiques
1. On peut faire un calcul direct ou s’inspirer de l’exercice 4.1.
4. (a)Pour déterminer les équations liant les dérivées premières, écrire que les dérivées secondes
àgauche et àdroite en les x i coïncident.
(c) Écrire l x i =
k
j = 1
m ij x j en choisissant un indice i tel que | x i | = max | x j | .
CORRIGÉS DES EXERCICES
4.1C hangement de base
1. Puisque { B
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 a4éléments et que P 3 est de dimension 4, il suffit de montrerque le
système est libre pour conclure qu’il forme une base. Si
3
i = 0
l i B
3
i = O ,alors en t = 0, il vient
l 0 = 0. De même en t = 1, l 3 = 0. En dérivant
2
i = 1
l i B
3
i = O puis en prenant ànouveau t = 0
puis t = 1, nous trouvons l 1 = l 2 = 0.
2. H
3
0 est un polynôme de degré 3tel que H
3
0 (0) = 1 , ( H
3
0 )
(0) = 0 , ( H
3
0 )
(1) = 0 , H
3
0 (1) = 0.
Donc 1est racine double si bien que H
3
0 ( t ) = (1− t )
2
( at + b ). Les 2conditions restantes permettent
de déterminer a et b et finalement H
3
0 ( t ) = (1 − t )
2
(2t +1 ). De même H
3
1 ( t ) = t (1 − t )
2
,
H
3
2 ( t ) = t
2
( t − 1) et H
3
3 ( t ) = t
2
(3 − 2 t ).
3. De même quedans la question 1, on montre que { H
3
i } i = 0 , 1 , 2 , 3 forme une base de P 3 .
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit