Énoncés des exercices
37
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Dérivéees exactes et approchées
Erreur x 10
Attention, l’erreur aété multipliée par 10
7. Reprendre le programme avec cette fois-ci un échantillonnage en des points équidistants.
Sauvegarde dans DA6.m.
8. Trouver au moins deux fonctions indépendantes pour lesquelles cette méthode de dérivation
approchéedonne la dérivée exacte.
9. La matrice M n’est pas inversible. Donner dans le programme DA7.m le Y 0 non nul tel que
Y 0 2 = 1et MY 0 2 0 .
4.4 Splines cubiques
Au lieu de construire un polynôme interpolant, nous allons construire un interpolantq ui sera
polynômial par morceaux.Laconstruction se fait en plusieurs étapes mais l’objectif est le même
quepour l’interpolation de Lagrange :trouver une fonction s telle que s ( x i ) = y i (en reprenant
lesnotations précédentes).
1. On souhaite construire unefonction polynômiale sur [ a , b ]interpolant lesdonnées suivantes
y a , y b , y
a et y
b .Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré 3réalisant l’interpolation.
On l’écrira dans la base de Bernstein:B
3
0 ( t ) = (1 − t )
3
, B
3
1 ( t ) = 3 t (1 − t )
2
, B
3
2 ( t ) = 3 t
2
(1 − t ),
B
3
3 ( t ) = t
3
où t =
x − a
b − a
en déterminant p ( x ) =
3
i = 0
a k B
3
k ( t ). On calculera ensuite
dB
3
k
dt
et
dp
dx
.
2. Pour la suite, calculer les dérivées suivantes :
d
2
B
3
k
dt 2 puis
d
2
p
dx 2 .
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit