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4
•
Interpolation polynômiale
Danslecas particulier proposé, x j = − 3+ j , j = 1à5, y j = ( − 1)
j
,onobtient alors le tableau
des différences divisées
− 2 → -1
2
− 1 →
1- 2
− 24 /3
0 →− 12
-2/3
2
− 4 / 3
1 →
1
− 2
− 2
2 →
1
Les coefficients dans la base de Newton sont encadrés et le polynôme de Lagrange s’écrit :
p ( x ) = − 1+2( x +2) − 2(x +2)(x +1)+4/ 3(x +2)(x +1) x − 2 / 3(x +2)(x +1) x ( x − 1).
3. Il reste àévaluer l’erreur d’approximation. x étant un réel situé dans le domaine où la fonction
f est définie avec x = x i .Notons Q ( t ) =
n +1
j = 1
( t − x j )
( x − x j )
.
Sachant que g ( t ) = f ( t ) − p ( t ) − e ( x ) Q ( t )et f ( x i ) = p ( x i ) , i = 1 ,...,n +1,onobtient g ( x i ) = 0
et puisque e ( x ) = f ( x ) − p ( x )et Q ( x ) = 1, il vient g ( x ) = 0. Si bien que nous avons k +2points
distincts où la fonction g s’annule. Dès que f est dérivable, g l’est aussi puisque p et Q sont des
polynômes. Le théorèmedeRolle nous assure alors qu’entre 2points successifs où g s’annule, il
existe un point strictement compris entre les 2points précédents où g
s’annule Ainsi il existe une
suite strictementcroissante x
1
i , i = 1 ,...,n +1telle que g
( x
1
1 ) = g ( x
1
2 ) = ··· = g ( x
1
n +1 ) = 0.
À partir de là, on peut construire une nouvelle suite strictement croissante x
2
i , i = 1 ,..., n où
g
s’annule dès que f est deux fois dérivable et, par récurrence, il existe un point x
n +1
1
= j tel
que g
( n +1)
( j ) = 0dès que f est n +1fois dérivable. En reprenant la définition de g et en dérivant
n +1fois par rapport à t ,sachant que p
( n +1)
= 0puisque p est de degréinférieur ou égal à n ,et
que Q
( n +1)
( t ) =
n +1
j = 1
1
( x − x j )
× ( n +1)!, on obtient e ( x ) =
1
( n +1)!
n +1
j = 1
( x − x j ) f
( n +1)
( j ). Cette
formule reste vraiequand x coïncide avec l’un des x i initiaux car dans ce cas e ( x i ) = 0.
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Interpolation polynômiale
Danslecas particulier proposé, x j = − 3+ j , j = 1à5, y j = ( − 1)
j
,onobtient alors le tableau
des différences divisées
− 2 → -1
2
− 1 →
1- 2
− 24 /3
0 →− 12
-2/3
2
− 4 / 3
1 →
1
− 2
− 2
2 →
1
Les coefficients dans la base de Newton sont encadrés et le polynôme de Lagrange s’écrit :
p ( x ) = − 1+2( x +2) − 2(x +2)(x +1)+4/ 3(x +2)(x +1) x − 2 / 3(x +2)(x +1) x ( x − 1).
3. Il reste àévaluer l’erreur d’approximation. x étant un réel situé dans le domaine où la fonction
f est définie avec x = x i .Notons Q ( t ) =
n +1
j = 1
( t − x j )
( x − x j )
.
Sachant que g ( t ) = f ( t ) − p ( t ) − e ( x ) Q ( t )et f ( x i ) = p ( x i ) , i = 1 ,...,n +1,onobtient g ( x i ) = 0
et puisque e ( x ) = f ( x ) − p ( x )et Q ( x ) = 1, il vient g ( x ) = 0. Si bien que nous avons k +2points
distincts où la fonction g s’annule. Dès que f est dérivable, g l’est aussi puisque p et Q sont des
polynômes. Le théorèmedeRolle nous assure alors qu’entre 2points successifs où g s’annule, il
existe un point strictement compris entre les 2points précédents où g
s’annule Ainsi il existe une
suite strictementcroissante x
1
i , i = 1 ,...,n +1telle que g
( x
1
1 ) = g ( x
1
2 ) = ··· = g ( x
1
n +1 ) = 0.
À partir de là, on peut construire une nouvelle suite strictement croissante x
2
i , i = 1 ,..., n où
g
s’annule dès que f est deux fois dérivable et, par récurrence, il existe un point x
n +1
1
= j tel
que g
( n +1)
( j ) = 0dès que f est n +1fois dérivable. En reprenant la définition de g et en dérivant
n +1fois par rapport à t ,sachant que p
( n +1)
= 0puisque p est de degréinférieur ou égal à n ,et
que Q
( n +1)
( t ) =
n +1
j = 1
1
( x − x j )
× ( n +1)!, on obtient e ( x ) =
1
( n +1)!
n +1
j = 1
( x − x j ) f
( n +1)
( j ). Cette
formule reste vraiequand x coïncide avec l’un des x i initiaux car dans ce cas e ( x i ) = 0.