26
3
•
Matrices, normes et conditionnement
3.4 Conditionnement et déterminants
Lespremières questions sont des calculs sur les matrices. En cas de difficulté, on pourra commencer par desmatrices 4 × 4par exemple. Noter que det A = det(2I − E ) × det U et que, comme
les matrices sont triangulaires, ce déterminant vaut 2
n
.
Pour montrer les résultats suivants, on calcule U × ( I − E
T
)puis
( I −
E
2
) × ( I +
E
2
+
E
2
4
+ ... +
E
n − 1
2 n − 1 ). Dans ce calcul on évaluera les puissances successivesde E
et on notera en particulier que E
n
= 0puisque la sous-diagonale de 1descend d’un cran àchaque
puissance E
k
.
Puisque A = 2(I − E / 2) × U ,onendéduit
A
− 1
=
1
2
U
− 1
× ( I − E / 2)
− 1
=
1
2
( I − E
T
) × ( I +
E
2
+
E
2
4
+ ... +
E
n − 1
2 n − 1 ) .
D’où
A
− 1
=
1
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 / 2
− 10
0 ... 0
1 / 41 / 2
− 10... 0
1 / 81 / 41 / 2 − 1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
1 / 2
n − 1
1 / 2
n − 2
... ... 1 / 2 − 1
1 / 2
n − 1
1 / 2
n − 2
... ... 1 / 21
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Ceci nous permet de calculer A ∞ = 1 − 1 / 2
n
puis cond ∞ ( A ) = 2 n . (1 − 2
− n
) ∼ 2 n .Onvoit
donc que le déterminant et le conditionnement ne sont pas du même ordre de grandeur.
3.5 Norme 2
1. 2.
Si S = A
T
A alors S
T
= A
T
( A
T
)
T
= A
T
A = S si bien que S est symétrique. Donc ses
valeurs propres sont réelles. Soit l une valeur propre et X un vecteur propre associé. En multipliant
SX = l X par X
T
àgauche, il vient X
T
A
T
AX = l X
T
X soit ( AX)
T
( AX) = l X
T
X .Puis que
X = 0, X
T
X =
n
i = 0
x
2
i > 0. Parailleurs ( AX)
T
( AX) =
n
i = 0
( AX)
2
i 0etdonc l 0.
À l’aide du programme ci-dessous, on vérifie numériquement que A 2 =
√ l où l est la plus
grande valeur propre de S = A
T
× A et de même pour A
− 1
2 .
valp.m
✞
☎
A=rand(10);
S=A’*A;
Lambda= eig(S)
lmax= max(Lambda)
lmin= min(Lambda)
normA= norm(A,2)