Corrigés desexercices
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X=A \b;
Y=A( \b+deltab);
r1= norm(Y-X,inf);
r2=r1/norm(X,inf);
c=cond(A,inf);
r3=r2-c*norm(deltab,inf)/norm(b,inf);
✝
✆
On trouve r 3 = − 2 . 1894 × 10
− 013
,très proche de 0. L’inégalité (3.1) est donc quasi une égalité.
En modifiant le programme (remplacer norm(.,inf) par norm(.,2)), on s’aperçoit que pour la
norme2,l’inégalité reste stricte ( r 3 = − 0 . 1744).
3.3 Conditionnement et valeurs propres
Notons que
f ( x 0 ,...,x n ) =
1
0
(
n
i = 0
x i t
i
)(
n
j = 0
x j t
j
) dt =
n
i = 0
n
j = 0
x i x j
1
0
t
i + j
dt =
n
i = 0
n
j = 0
x i x j
1
i + j +1
.
Cette dernière expression s’écrit X
T
AX où X = ( x 0 ,..., x n )
T
et A = ( a ij ) i , j = 0 ,..., n avec a ij =
1
i + j +1
.
Sachant que a ij = a ji ,Aest symétrique. De plus par définition de f ,
f ( x 0 ,...,x n ) = X
T
AX 0etsi X
T
AX = 0alors
n
i = 0
x i t
i
= 0(continuité et positivité de la
fonction àintégrale nulle). Si le polynôme s’annule sur [0, 1], on en déduit que ces coefficients
sontnuls donc X = 0. Finalement A est définie positive.
Comme A est symétrique, sesvaleurspropres sont réelles. De plus elles sont strictement positives
puisque A est définie positive.S i l est une valeur propre de vecteur propre associé X = 0i.e.
AX = l X alors
AX
X
= l .Onendéduit l A .Par ailleurs
1
l
X = A
− 1
X et on obtient ainsi
1
l
A
− 1
d’où la double inégalité demandée :
1
A − 1
l A .
condvalp.m.Onnotera la construction de A en une seule commande.
✞
☎
n=5
A=1./((0:n)’*ones(1,n+1)+ones(n+1,1)*(0:n)+1);
invA=A^(-1);
nA= norm(A,inf)
ninvA= norm(invA,inf)
conditionnement= cond(A,inf)
✝
✆
Sachant que pour n = 5, le conditionnement est 2 . 9070 × 10
+007
,laprécision relative garantie
pour X est donc de 2 . 9 × 10
2
puisque celle de b est de l’ordre de 10
− 5
.Enconclusion, même avec
des valeurs propres «raisonnables », on peut avoir un très mauvais conditionnement.
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit
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X=A \b;
Y=A( \b+deltab);
r1= norm(Y-X,inf);
r2=r1/norm(X,inf);
c=cond(A,inf);
r3=r2-c*norm(deltab,inf)/norm(b,inf);
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✆
On trouve r 3 = − 2 . 1894 × 10
− 013
,très proche de 0. L’inégalité (3.1) est donc quasi une égalité.
En modifiant le programme (remplacer norm(.,inf) par norm(.,2)), on s’aperçoit que pour la
norme2,l’inégalité reste stricte ( r 3 = − 0 . 1744).
3.3 Conditionnement et valeurs propres
Notons que
f ( x 0 ,...,x n ) =
1
0
(
n
i = 0
x i t
i
)(
n
j = 0
x j t
j
) dt =
n
i = 0
n
j = 0
x i x j
1
0
t
i + j
dt =
n
i = 0
n
j = 0
x i x j
1
i + j +1
.
Cette dernière expression s’écrit X
T
AX où X = ( x 0 ,..., x n )
T
et A = ( a ij ) i , j = 0 ,..., n avec a ij =
1
i + j +1
.
Sachant que a ij = a ji ,Aest symétrique. De plus par définition de f ,
f ( x 0 ,...,x n ) = X
T
AX 0etsi X
T
AX = 0alors
n
i = 0
x i t
i
= 0(continuité et positivité de la
fonction àintégrale nulle). Si le polynôme s’annule sur [0, 1], on en déduit que ces coefficients
sontnuls donc X = 0. Finalement A est définie positive.
Comme A est symétrique, sesvaleurspropres sont réelles. De plus elles sont strictement positives
puisque A est définie positive.S i l est une valeur propre de vecteur propre associé X = 0i.e.
AX = l X alors
AX
X
= l .Onendéduit l A .Par ailleurs
1
l
X = A
− 1
X et on obtient ainsi
1
l
A
− 1
d’où la double inégalité demandée :
1
A − 1
l A .
condvalp.m.Onnotera la construction de A en une seule commande.
✞
☎
n=5
A=1./((0:n)’*ones(1,n+1)+ones(n+1,1)*(0:n)+1);
invA=A^(-1);
nA= norm(A,inf)
ninvA= norm(invA,inf)
conditionnement= cond(A,inf)
✝
✆
Sachant que pour n = 5, le conditionnement est 2 . 9070 × 10
+007
,laprécision relative garantie
pour X est donc de 2 . 9 × 10
2
puisque celle de b est de l’ordre de 10
− 5
.Enconclusion, même avec
des valeurs propres «raisonnables », on peut avoir un très mauvais conditionnement.
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit