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3
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Matrices, normes et conditionnement
3.4 Conditionnement et déterminant
1. Commencer par des matrices 4 × 4.
2. Pour montrer N = M
− 1
,onpeut montrer que MN = I
3.5 Norme 2
5. On pourra commencer par montrer que b
T
b = l X
T
X en partant de SX = l X
CORRIGÉS DES EXERCICES
3.1 Premiers calculs
1. A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
12
0 ... 0
01
20
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .0
12
0 ... ... 01
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
et A
− 1
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 − 24... ( − 2)
j − 1
... ( − 2)
n − 1
01− 24
...
... ( − 2)
n − 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .0
1( − 2)
j − i
... ( − 2)
n − i
. . .
. . .
. . .
. . .
01
− 2
0
...
001
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
On aalors A 1 = 3et A
− 1
1 = 1+2+4+...+2
n − 1
= 2
n
− 1sibien que cond 1 ( A ) = 3 . (2
n
− 1).
2. Si l est une valeur propre de A de vecteur propre associé U ,alors AU = l U .
Donc l U = | l | . U A . U .P uisque U = 0, on a U > 0, d‘où | l | A .L a
propriété est vérifiée pour toute valeur propre donc en particulier pour la plus grande en module si
bien que r ( A ) A .
3.2 Conditionnement et erreur
Sachant que AX = b et A ( X + d X ) = b + d b ,p ar différence, on obtient A d X = d b d’où
d X = A
− 1
d b .
AX = b ⇒⇒ b A × X ,
d X = A
− 1
d b ⇒⇒ d X A
− 1
× d b .
En multipliant les deux inégalités, il vient b × d X A × A
− 1
× X × d b .Sachant
que b = 0par hypothèse et que X = 0sinon on aurait b = 0, on déduit la majoration (3.1).
Programme erreur.m.O nnotera la résolution de système qui se fait en une seule commande,
ainsi que l’appel auxfonctions norm et cond.
✞
☎
A=[10 787;7 565; 8610 9;7 5910];
b=[32 23 33 31]’;
deltab=[0.01 -0.01 0.01 -0.01]’;