20
3
•
Matrices, normes et conditionnement
✞
☎
n=
5
nA =
2.4500
ninvA =
1.1865e+007
✝
✆
6. Majorerles valeurs propres àl’aide de (3.3) et calculer numériquement le conditionnement
de A pour · ∞ .
✞
☎
conditionnement =
2.9070e+007
✝
✆
7. Avec n = 5, pour résoudre AX = b , on connaît b avec 5chiffres significatifs (c’est-à-dire
d b ∞
b ∞
10
− 5
). Avec combien de chiffres significatifs est-on assuré de connaître X (c’està-dire
d X ∞
X ∞
)?
3.4 Conditionnement et déterminant
Soient E et U des matrices carrées d’ordre n et f ∈ R
n
définis par
E =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 ··· ··· ··· 0
10···
0
01
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 ··· 01 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, U =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 ··· ··· ··· 1
01··· ··· 1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 ··· ··· 01
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, f =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
.
. .
1
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
et
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
22 ··· ··· 2
− 11 1 ··· 1
0 − 11··· 1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 ··· 0 − 11
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, I est la matrice identité
1. Vérifier que A = U − E + e 1 f
T
où e 1 est le premier vecteur de la base canonique.
2. Montrer que A = (2I − E ) × U .Endéduire det(A ).
3. Calculer E
2
, E
3
,..., E
n
.
4. Montrer que U
− 1
= I − E
T
puis que ( I −
E
2
)
− 1
= I +
E
2
+
E
2
4
+ ... +
E
n − 1
2 n − 1 .