18
3
•
Matrices, normes et conditionnement
Si A , A + D A ∈ R
n × n
(ou C
n × n
)sont inversibles, si b est un vecteur de R
n
(ou C
n
)etque AX = b ,
( A + d A )(X + D X ) = b, alors
D X
X + D X
cond(A )
D A
A
.
(3.2)
ÉNONCES DESEXERCICES
Dans ce chapitre, après quelquescalculs élémentaires, nous avons volontairement mêlé les exercices théoriques et les utilisations de Matlab.Ils’agit parfois de vérifier numériquement un résultat
déjà démontré ou encore de calculer numériquementa vant de démontrer,cequi est souvent la
démarche en analyse numérique. Le dernier exercice est plus classique dans sa démarche ;une
méthodenumérique est rapidement décrite puis programmée.
Le premiere xercice calcule une norme de matrice, puis compare norme et rayon spectral. Le
second relie conditionnement et erreur et les deux suivants montrent qu’il n’y apas de lien direct
entre conditionnement et valeurs propres ou déterminant. Le quatrième permet de revenir sur une
inégalité obtenue dans le premier exercice qui peut systématiquement se transformer en égalité.
Le dernier exercice prend un peu d’avance sur les techniques de moindres carrés mais permet,
sansdoute, d’illustrer de manière pertinente la question du conditionnement.
3.1 Premiers calculs
1. Calcul de norme
Soit A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
12
0 ... 0
01
20
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .0
12
0 ... ... 01
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
n × n
.Déterminer A 1 , A
− 1
1 et cond 1 ( A ).
2. Normeetrayon spectral
Soit . une norme sur R
n
.Si A ∈ R
n × n
,montrer que r ( A ) A
où r ( A ) = max{|l i | : l i valeur propre de A } .
3.2 Conditionnement et erreur
On choisit une norme sur R
n
.Soient b et d b 2vecteurs de R
n
avec b = 0et A = ( a ij ) ∈ R
n × n
une matrice inversible. Puisque A est inversible, soient X l’unique solution de AX = b et X + d X
la solution de A ( X + d X ) = b + d b .
1. Montrer que b A × X puis que d X A
− 1
× d b .
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Matrices, normes et conditionnement
Si A , A + D A ∈ R
n × n
(ou C
n × n
)sont inversibles, si b est un vecteur de R
n
(ou C
n
)etque AX = b ,
( A + d A )(X + D X ) = b, alors
D X
X + D X
cond(A )
D A
A
.
(3.2)
ÉNONCES DESEXERCICES
Dans ce chapitre, après quelquescalculs élémentaires, nous avons volontairement mêlé les exercices théoriques et les utilisations de Matlab.Ils’agit parfois de vérifier numériquement un résultat
déjà démontré ou encore de calculer numériquementa vant de démontrer,cequi est souvent la
démarche en analyse numérique. Le dernier exercice est plus classique dans sa démarche ;une
méthodenumérique est rapidement décrite puis programmée.
Le premiere xercice calcule une norme de matrice, puis compare norme et rayon spectral. Le
second relie conditionnement et erreur et les deux suivants montrent qu’il n’y apas de lien direct
entre conditionnement et valeurs propres ou déterminant. Le quatrième permet de revenir sur une
inégalité obtenue dans le premier exercice qui peut systématiquement se transformer en égalité.
Le dernier exercice prend un peu d’avance sur les techniques de moindres carrés mais permet,
sansdoute, d’illustrer de manière pertinente la question du conditionnement.
3.1 Premiers calculs
1. Calcul de norme
Soit A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
12
0 ... 0
01
20
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .0
12
0 ... ... 01
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
n × n
.Déterminer A 1 , A
− 1
1 et cond 1 ( A ).
2. Normeetrayon spectral
Soit . une norme sur R
n
.Si A ∈ R
n × n
,montrer que r ( A ) A
où r ( A ) = max{|l i | : l i valeur propre de A } .
3.2 Conditionnement et erreur
On choisit une norme sur R
n
.Soient b et d b 2vecteurs de R
n
avec b = 0et A = ( a ij ) ∈ R
n × n
une matrice inversible. Puisque A est inversible, soient X l’unique solution de AX = b et X + d X
la solution de A ( X + d X ) = b + d b .
1. Montrer que b A × X puis que d X A
− 1
× d b .