3
Matrices,normes
et conditionnement
RAPPEL DE COURS
Nous vous proposons d’étudier les normes matricielles et le conditionnement qui permetd e
majorer les variations de la solution d’un système linéaire quand on modifie le second membre
ou la matrice. Rappelons que si · est une norme sur R
n
(ou C
n
)alors la normematricielle
subordonnée est définie pour A ∈ R
n × n
(ou C
n × n
)par A = sup X = 0
AX
X
.Par linéarité, elle
coïncide avec sup
X = 1
AX . Alors AB A × B pour Amatrice et Bv ecteur ou matrice.
Pour les normes usuelles de R
n
(ou C
n
), si X = ( x 1 ,...,x n )
T
et A = ( a ij ) ∈ R
n × n
(ou C
n × n
), on
montre (excellentsexercices) que
–S i X 1 =
n
i = 1
| x i | alors A 1 = max
j = 1 ,..., n
n
i = 1
| a ij | ,
–S i X ∞ = max
i = 1 ,..., n
| x i | alors A ∞ = max
i = 1 ,..., n
n
j = 1
| a ij | ,
– Si X 2 =
n
i = 1
| x i |
2
1 / 2
alors A 2 =
r ( A
∗
A )
1 / 2 avec A
∗
= ¯
A
T
,o ù r ( B ) désigne le
rayon spectral de B, c’est-à-direlaplus grande valeur propreenmodule.
Enfin, pour une norme donnée, le conditionnement d’une matrice A ∈ R
n × n
(ou C
n × n
)inversible
est défini parcond(A ) = A × A
− 1
.
Si A ∈ R
n × n
(ou C
n × n
)est inversible,si b et d b sont deux vecteursde R
n
(ou C
n
)etque AX = b ,
A ( X + d X ) = b + d b, alors
d X
X
cond(A )
d b
b
.
(3.1)
Démonstration dans l’exercice 3.2.