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Matrices, normes et conditionnement
➤ Introduction
Soit f une fonction continue sur [0, 1]. On cherche àapprocher f par une suite de polynômes de
degré n .Pour n donné, on minimise
E ( p ) =
1
0
f ( t ) − p ( t )
2 √
tdt , p ∈ R n [ X ] .
Si p n ( x ) =
n
i = 0
a i x
i
,leminimum est atteint lorsque
∂ E
∂ a i
= 0pour i = 0àn ce qui donne le
système :
M a = b
où
M = ( m ij ) i = 0 ,..., n , j = 0 ,..., n , avec m ij =
1
0
t
i + j +1/ 2
dt =
1
i + j +3/ 2
,
b = ( b i ) i = 0 ,..., n , avec b i =
1
0
f ( t ) t
i +1/ 2
dt,
a = ( a 0 , a 1 ,..., a n )
T
,coefficients de p n .
➤ Programmation
1.
f est donnée par un fichier f1.m que vous construisez. Exemple f 1(x ) = sin p x .Calculer
f1([1/4- 1]).
✞
☎
>> f1([1/4 -1])
ans =
0.7071
-0.0000
✝
✆
2. Construirel am atrice M ∈ R
( n +1)× ( n +1)
;a ttention les indices Matlab vont de 1àn +1.
Sauvegarde sous approx1.m.T est avec n = 4.
✞
☎
>> approx1
M=
0.6667
0.4000
0.2857
0.2222
0.1818
0.4000
0.2857
0.2222
0.1818
0.1538
0.2857
0.2222
0.1818
0.1538
0.1333
0.2222
0.1818
0.1538
0.1333
0.1176
0.1818
0.1538
0.1333
0.1176
0.1053
✝
✆
3. Construire le secondm embre àl ’aide des fichiers sndmemb.m et fonctj.m ci-dessous ;
l’appel se fait par b=sndmemb(’f’,n) où f est le nom du fichier contenant la fonction. Ces
fichiers permettentdecalculer une approximation de l’intégrale àl’aide de la fonction quadl.m.
Test avec f=f1 et n = 4.